Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其中对称轴为：x=1，则下列4个结论中正确的结论有（　　）个
①abc＜0；②a+c＞b；③2a+3b＞0；④a+b＞am²+bm（m≠1）；⑤c＜-2a．

• A、2个
• B、3个
• C、4个
• D、5个

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：压轴题

分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答：解：①由函数图象开口向下可知，a＜0，由图象与y轴的交点在y轴的正半轴可知，c＞0，由函数的对称轴x=-

b

2a

=1＞0，a＜0，可知，b＞0，故abc＜0；此选项正确；
②因为x=-

b

2a

=

x+3

2

=1，x=-1，故x=-1时，y=a+b+c=0，即a+c=b；此选项错误；
③由函数图象可知对称轴x=-

b

2a

=1，所以2a=-b，即4a=-2b，故4a+2b=0，
∵a＜0，b＞0，
∴2a+3b＞0；此选项正确；
④根据一元二次方程根与系数的关系可知，x₁+x₂=-

b

a

=-1+3=2，所以b=-2a，
因为a＜0，所以a+b＞0，
令m=-1，则am²+bm＜0，故a+b＞am²+bm（m≠1），此选项正确；
⑤由函数图象的对称轴及与x轴的一个交点为3可知，与x轴的另一个交点为-1，故x₁x₂=

c

a

=-3，
∴c=-3a，∵a＜0，∴c＞-2a；此选项错误；
故正确的有3个．
故选：B．

点评：此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换．