Question

10．已知A、B是直线y=x+3上的两点，点A的横坐标为1，点B的纵坐标为1，点B关于原点的对称点为B₁；
试求：
（1）直线AB₁的解析式；
（2）△ABB₁的面积．

Answer 1

分析 （1）首先求得A和B的坐标，根据对称点的性质求得B1的坐标，然后利用待定系数法求得函数的解析式；
（2）过A作x轴的平行线，过B作y轴的平行线，过B₁作x轴、y轴的平行线，分别相交于点C、D、E．然后根据△ABB₁的面积等于矩形的面积与直角三角形的面积的差求解．

解答 解：（1）在y=x+3中令x=1得y=4，则A的坐标是（1，4）；
在y=x+3中，令y=1得x+3=1，解得x=-2，则B的坐标是（-2，1），则B₁的坐标是（2，-1）．
设AB₁的解析式是y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{2k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-5}\\{b=9}\end{array}\right.$．
则直线AB1的解析式是y=-5x+9；
（2）过A作x轴的平行线，过B作y轴的平行线，过B₁作x轴、y轴的平行线，分别相交于点C、D、E．
则C的坐标是（-2，4），D的坐标是（-2，-1），E的坐标是（2，4）．
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AC=$\frac{1}{2}$×3×3=$\frac{9}{2}$，
S_△BB1D=$\frac{1}{2}$BD•B₁D=$\frac{1}{2}$×2×4=4，
S_△AB1E=$\frac{1}{2}$B1E•AE=$\frac{1}{2}$×1×5=$\frac{5}{2}$，
S_矩形CDB1E=4×5=20，
则S_△ABB1=20-$\frac{9}{2}$-4-$\frac{5}{2}$=9．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式以及图形的面积的计算，可以转化为规则图形的面积的和差计算．