Question

如图，已知二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P，顶点为C（2，-9）．
（1）求此函数的关系式；
（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A，C，B，D．若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ACBD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，F为抛物线上的一个动点，记△PEF的面积为S，问S取何值时，相应的F点有且只有3个．

Answer 1

分析：（1）抛物线的解析式中二次项系数是1，已知了它的顶点坐标，直接写成顶点式即可．
（2）根据抛物线的对称性知，A、B关于直线CD对称，而C、D关于x轴对称，显然四边形ACBD是个菱形，若直线PE将四边形ACBD平分成两个相等面积的四边形，那么直线PE必然经过AB、CD的交点（或抛物线对称轴与x轴的交点），可根据这个条件先求出直线PE的解析式，联立抛物线的解析式后就能确定点E的坐标．
（3）由题意，能构成面积相同的△PEF的三角形有且只有三个，观察图示可以发现，在直线PE上方显然有两个，那么在PE下方有且只有一个点F，若过点F作直线PE的平行线，那么该直线与抛物线有且只有一个交点，即在直线PE下方的抛物线图象上，该点到直线PE的距离最大，而PE长不变，那么此时△PEF的面积最大，即S的值最大，可过点F作y轴的平行线，交直线PE于点H，首先设出P、H的坐标，则PH的长可得，以PH为底、点E到y轴的距离为高就能得到S的函数表达式，根据函数的性质即可判断出S的最大值．

解答：解：（1）∵二次函数y=x²+bx+c的顶点为（2，-9），
∴二次函数的解析式：y=（x-2）²-9=x²-4x-5．

（2）∵C、D关于x轴对称，
∴AD=AC、BC=BD，且CD∥y轴；
由抛物线的对称性知，点A、B关于直线CD对称，则：AD=BD、AC=BC；
∴AC=BC=BD=AD，即四边形ACBD是菱形；
若直线PE将四边形ACBD平分成两个面积相等的四边形，则直线PE必过AB、CD的交点G（2，0），
设直线PE的解析式为：y=kx+b（k≠0），将P（0，-5）、G（2，0）代入，得：

b=-5 2k+b=0

，
解得

k= 5 2 b=-5

．
故直线PE：y=

5

2

x-5，联立抛物线的解析式，得：

y= 5 2 x-5 y=x2-4x-5

，
解得

x1=0 y1=-5

，

x2= 13 2 y2= 45 4

故点E的坐标（

13

2

，

45

4

）．

（3）通过图示可以发现，
当点F在直线PE上方时，在直线PE的上方一定有两个点F；
当点F在直线PE下方时，若相应的F点有且只有3个，那么直线PE下方的点F只有一个；过点F作PE的平行线，该直线必与抛物线有且只有一个交点，此时点F到直线PE的距离最长；
以PE为底、点F到直线PE的距离为高，此时△PEF的面积最大，即S最大（情况如右图）；
设点F的坐标为（x，x²-4x-5），过点F作FH∥y轴，交直线PE于点H，则H（x，

5

2

x-5），则：
FH=（

5

2

x-5）-（x²-4x-5）=-x²+

13

2

x；
则S=

1

2

×

13

2

×（-x²+

13

2

x）=-

13

4

（x-

13

4

）²+

2197

64

；
综上，当S=

2197

64

时，相应的F点有且只有三个．

点评：此题主要考查了函数解析式的确定、菱形的判定和性质、抛物线的对称性、图形面积的解法等综合知识；（3）题的难度较大，将点的个数问题转化为三角形面积的最大值问题是解答题目的关键所在．