【题目】如图,已知点A是双曲线 在第一象限分支上的一个动点,连结AO并延长交另一分支于点B,以AB为边作等边三角形ABC,点C在第四象限内,且随着点A的运动,点C的位置也在不断变化,但点C始终在双曲线 上运动,则k的值是 .
【答案】﹣3
【解析】解:∵双曲线 的图象关于原点对称, ∴点A与点B关于原点对称,
∴OA=OB,
连接OC,如图所示,
∵△ABC是等边三角形,OA=OB,
∴OC⊥AB.∠BAC=60°,
∴tan∠OAC= = ,
∴OC= OA,
过点A作AE⊥y轴,垂足为E,过点C作CF⊥y轴,垂足为F,
∵AE⊥OE,CF⊥OF,OC⊥OA,
∴∠AEO=∠OFC,∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF,
∴△OFC∽△AEO,相似比 ,
∴面积比 ,
∵点A在第一象限,设点A坐标为(a,b),
∵点A在双曲线 上,
∴S△AEO= ab= ,
∴S△OFC= FCOF= ,
∴设点C坐标为(x,y),
∵点C在双曲线 上,
∴k=xy,
∵点C在第四象限,
∴FC=x,OF=﹣y.
∴FCOF=x(﹣y)=﹣xy=﹣ ,
所以答案是:﹣3 .
【考点精析】根据题目的已知条件,利用等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°;相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方.
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【题目】如图1,已知△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,点D是BC的中点.作正方形DEFG,使点A、C分别在DG和DE上,连接AE,BG.
(1)求证:AE=BG
(2)将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α(0°<α≤360°)如图2所示,判断(1)中的结论是否仍然成立?如果仍成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由;
(3)若BC=DE=4,当旋转角α为多少度时,AE取得最大值?直接写出AE取得最大值时α的度数,并利用备用图画出这时的正方形DEFG,最后求出这时AF的值.
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【题目】某学校为了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目最喜爱的情况,随机调查了若干名学生,根据调查数据进行整理,绘制了如下的不完整统计图.
请你根据以上的信息,回答下列问题:
(1)本次共调查了名学生,其中最喜爱体育的有人;
(2)在扇形统计图中,最喜爱体育的对应扇形的圆心角大小是 .
(3)小李和小张在新闻、体育、动画三类电视节目中分别有一类是自己最喜爱的节目,请用树状图或列表法求两人恰好最喜爱同一类节目的概率.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,O为AC中点,EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F,交AB于E,点G是AE中点且∠AOG=30°,则下列结论正确的个数为( ) ⑴DC=3OG;(2)OG= BC;(3)△OGE是等边三角形;(4)S△AOE= SABCD .
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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【题目】如图,在矩形OABC中,AO=10,AB=8,沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC,使点B落在OA边上的点E处.分别以OC,OA所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,抛物线y=ax2+bx+c经过O,D,C三点.
(1)求AD的长及抛物线的解析式;
(2)一动点P从点E出发,沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动,同时动点Q从点C出发,沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动,当点P运动到点C时,两点同时停止运动.设运动时间为t秒,当t为何值时,以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似?
(3)点N在抛物线对称轴上,点M在抛物线上,是否存在这样的点M与点N,使以M,N,C,E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M与点N的坐标(不写求解过程);若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+(m﹣1)x+m(m>1)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点D和点C关于抛物线的对称轴对称,点你F在直线AD上方的抛物线上,FG⊥AD于G,FH∥x轴交直线AD于H,求△FGH的周长的最大值;
(3)点M是抛物线的顶点,直线l垂直于直线AM,与坐标轴交于P、Q两点,点R在抛物线的对称轴上,使得△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形,求直线l的解析式.
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【题目】如图,D是△ABC的边AB上一点,CN∥AB,DN交AC于点M,若MA=MC.
(1)求证:CD=AN;
(2)若AC⊥DN,∠CAN=30°,MN=1,求四边形ADCN的面积.
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【题目】 如图,在平面直角坐标系中直线y=x﹣2与y轴相交于点A,与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B(m,2).
(1)求反比例函数的关系式;
(2)将直线y=x﹣2向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点C,且△ABC的面积为18,求平移后的直线的函数关系式.
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