Question

如图，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，AC⊥BD于E，OF⊥AB于F，求证：2OF=CD．

Answer 1

考点：圆周角定理,三角形中位线定理

专题：证明题

分析：如图，作辅助线；证明∠DBC=∠BAG，得到BG=DC；证明OF是△ABG的中位线，得到BG=2OF，即可解决问题．

解答：证明：如图，连接AO并延长，交⊙O于点G；
则∠ABG=90°；而AC⊥BD，
∴∠DBC=90°-∠ACB，∠BAG=90°-∠AGB，
∵∠ACB=∠AGB，
∴∠DBC=∠BAG，
∴BG=DC；
∵OF⊥AB，∠ABG=90°，
∴OF∥BG，AF=BF；而OA=OG，
∴OF是△ABG的中位线，
∴BG=2OF，
∴2OF=CD．

点评：该题以圆为载体，以考查圆周角定理及其推论、三角形的中位线定理及其应用问题；解题的关键是作中位线，灵活运用有关定理来分析、解答．