Question

已知：△ABC中，∠BAC是直角，过斜边中点M作垂直于斜边BC的直线交CA的延长线于E，交AB于D，连接AM．
（1）求证：△MAD∽△MEA；
（2）若BC=10，BD=7，求ME的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）证明∠E=∠DAM，此为解决该问题的关键性结论；结合∠AMD=∠AME，即可解决问题．
（2）求出DM=2

6

；证明△BMD∽△EMC，列出比例式即可解决问题．

解答：（1）证明：∵AM是直角△ABC的斜边中线，
∴MA=MB，∠B=∠DAM；
∵∠BAC=90°，EM⊥BC，
∴∠E+∠ECM=∠B+∠ECM，
∴∠E=∠B，
∴∠E=∠DAM，而∠AMD=∠AME，
∴△MAD∽△MEA．
（2）解：∵BC=10，BD=7，
∴BM=MC=5；由勾股定理得：
DM²=BD²-BM²
=49-25，
∴DM=2

6

；
∵∠B=∠E，∠DMB=∠CME，
∴△BMD∽△EMC，
∴

BM

ME

=

DM

MC

，
∴ME=

25 6

12

．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用勾股定理等几何知识点来分析、解答．