Question

5．如图，在四边形ABCD中，连接AC，恰有∠ACD=∠ADC，点F在AB上，连接DF，交AC于点G，在DG上取一点E，连接AE，使得△AED≌△ABC，若∠CAD=90°，∠BCA=20°．
（1）试判断∠BAE与∠ACD之间的数量关系，并说明理由．
（2）求∠CDG+∠CGF的度数．

Answer 1

分析 （1）∠BAE=2∠ACD，理由：根据∠CAD=90°，∠ACD=∠ADC，先求出∠ACD、∠ADC的度数，根据△AED≌△ABC，得到∠BAC=∠EAD，求出∠BAE的度数，即可得到∠BAE=2∠ACD．
（2）先求出∠EDA=20°，再求出∠CDG的度数，∠FGC的度数，所以∠CDG+∠CGF=25°+70°=95°．

解答 解：（1）∠BAE=2∠ACD，
∵∠CAD=90°，∠ACD=∠ADC，
∴∠ACD=∠ADC=45°，
∵△AED≌△ABC，
∴∠BAC=∠EAD，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，
即∠BAE=∠CAD=90°，
∴∠BAE=2∠ACD．
（2）∵△AED≌△ABC，∠BCA=20°．
∴∠BCA=∠EDA=20°，
∵∠ADC=45°，
∴∠CDG=∠ADC-∠EDA=45°-20°=25°，
∵∠CAD=90°，∠EDA=20°，
∴∠AGD=70°，
∴∠FGC=∠AGD=70°，
∴∠CDG+∠CGF=25°+70°=95°．

点评 本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是根据全等三角形的性质得到相等的角．