Question

【题目】如图，AB∥CD，点A，E，B，C不在同一条直线上．

（1）如图1，求证：∠E+∠C﹣∠A＝180°

（2）如图2．直线FA，CP交于点P，且∠BAF＝∠BAE，∠DCP＝∠DCE．

①试探究∠E与∠P的数量关系；

②如图3，延长CE交PA于点Q，若AE∥PC，∠BAQ＝α（0°＜α＜22.5°），则∠PQC的度数为　 　（用含α的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①∠E＝180°﹣3∠P，理由详见解析；②180°﹣8α

【解析】

（1）如图1，过E作EF∥AB，根据平行线的性质即可得到结论；

（2）①设∠BAF＝x，∠BAE＝3x，∠DCP＝y，∠DCE＝3y，由（1）知，∠E＝180°﹣∠C+∠A＝180°﹣3（y﹣x），如图2，过P作PG∥CD，根据平行线的性质即可得到结论；

②如图3，过P作PG∥CD，根据平行线的性质即可得到结论．

解：（1）如图1，过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥EF∥CD，

∴∠AEF＝∠A，∠C+∠FEC＝180°，

∴∠E＝∠AEF+∠FEC＝∠A+180°﹣∠C，

即∠E+∠C﹣∠A＝180°；

（2）①∵∠BAF＝∠BAE，∠DCP＝∠DCE，

∴设∠BAF＝x，∠BAE＝3x，∠DCP＝y，∠DCE＝3y，

由（1）知，∠E＝180°﹣∠C+∠A＝180°﹣3（y﹣x），

如图2，过P作PG∥CD，

∵AB∥CD，

∴AB∥PG，

∴∠GPA＝∠BAF＝x，∠GPC＝∠PCD＝y，

∴∠APC＝y﹣x，

即∠E＝180°﹣3∠P；

②如图3，过P作PG∥CD，

∵∠BAQ＝α，

∴∠QAE＝2α，

∵AE∥PC，

∴∠QAE＝∠APC＝2α，

由①知，∠AEC＝180°﹣3∠APC＝180°﹣6α，

∴∠PQC＝∠AEC﹣∠QAE＝180°﹣6α﹣2α＝180°﹣8α，

故答案为：180°﹣8α．