Question

15．如图，过点A作△ABC中∠B、∠C的外角平分线的垂线，垂足分别为M、N，联结MN．
（1）求证：MN∥BC；
（2）若设AB=c，BC=a，AC=b，则用a、b、c的代数式表示MN的长；
（3）如图②、③中，MN与a、b、c的关系还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请求出新的关系式．

Answer 1

分析 （1）延长AM交BC的延长线于E，延长AN交CB的延长线于F，根据等腰三角形的三线合一、三角形的中位线定理解答即可；
（2）根据（1）的结论结合图形解得即可；
（3）延长AM交BC的延长线于E，延长AN交CB于F，根据等腰三角形的三线合一、三角形的中位线定理解答即可．

解答 解：如图①，延长AM交BC的延长线于E，延长AN交CB的延长线于F，

（1）∵CM为∠ACE的平分线，CM⊥AM，∴AM=ME，CA=CE，
同理，AN=NF，BF=BA，
∴MN是三角形AEF的中位线，
∴MN∥BC；
（2）EF=EC+BC+BF=CA+BC+AB=a+b+c，
∴MN=$\frac{1}{2}$（a+b+c）；
（3）如图②，

由（1）得，MN=$\frac{1}{2}$（a+b-c）；
如图③，

MN=$\frac{1}{2}$（a+b-c）．

点评 本题考查的是三角形的中位线定理和三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键．