Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9cm，BC=12cm．在Rt△DEF中，∠DFE=90°，EF=6cm，DF=8cm．E，F两点在BC边上，DE，DF两边分别与AB边交于G，H两点．现固定△ABC不动，△DEF从点F与点B重合的位置出发，沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P从点F出发，在折线FD-DE上以2cm/s的速度向点E运动．△DEF与点P同时出发，当点E到达点C时，△DEF和点P同时停止运动．设运动的时间是t（单位：s），t＞0．
（1）当t=2时，PH=______cm，DG=______cm；
（2）t为多少秒时△PDE为等腰三角形？请说明理由；
（3）t为多少秒时点P与点G重合？写出计算过程；
（4）求tan∠PBF的值（可用含t的代数式表示）．

Answer 1

解：（1）当t=2，得到BF=2，PF=4，根据BF：BC=HF：AC，即可求出HF，从而得到PH；BE=8，利用Rt△BEG∽Rt△BAC，可求出EG，得到DG由题意即：PH=，DG=；

（2）只有点P在DF边上运动时，
△PDE才能成为等腰三角形，且PD=PE．（如图1）
∵BF=t，PF=2t，DF=8，
∴PD=DF-PF=8-2t．
在Rt△PEF中，PE²=PF²+EF²=4t²+36=PD²．即4t²+36=（8-2t）²．
解得．
∴t为时△PDE为等腰三角形；

（3）设当△DEF和点P运动的时间是t时，点P与点G重合，
此时点P一定在DE边上，DP=DG．
由已知可得tanB===，tanD==，
∴∠B=∠D，
又∵∠D+∠DEB=90°，
∴∠B+∠DEB=90°，
∴∠DGH=∠BFH=90°．
∴FH=BF•tanB=t，DH=DF-FH=8-t，DG=DH•cosD=（8-t）•=-t+，
∵DP+DF=2t，
∴DP=2t-8．
由DP=DG得，2t-8=-t+，解得t=，
∵4＜＜6，则此时点P在DE边上．
∴t的值为时，点P与点G重合．

（4）当0＜t≤4时，点P在DF边上运动（如图1），tan∠PBF==2．
当4＜t≤6时，点P在DE边上运动（如图2），作PS⊥BC于S，则tan∠PBF=；
可得PE=DE-DP=10-（2t-8）=18-2t．
此时PS=PE•cos∠EPS=PE•cosD=•（18-2t）=-t+，ES=PE•sin∠EPS=PE•sinD=•（18-2t）=-t+，
∴BS=BF+EF-ES=t+6-（-t+）=t-，
∴tan∠PBF==，
综上所述，
tan∠PBF=．
（以上时间单位均为s，线段长度单位均为cm）
分析：（1）当t=2，得到BF=2，PF=4，根据BF：BC=HF：AC，即可求出HF，从而得到PH；BE=8，利用Rt△BEG∽Rt△BAC，可求出EG，得到DG；
（2）根据题意得到PD=PE，则BF=t，PF=2t，DF=8，得到PD=DF-PF=8-2t．在Rt△PEF中，利用勾股定理得到4t²+36=（8-2t）²，解得t=．
（3）设当△DEF和点P运动的时间是t时，点P与点G重合，此时点P一定在DE边上，DP=DG．根据正切的定义得到tanB=tanD=，则FH=t，DH=8-t，得到DG=-t+，而DP+DF=2t，于是有2t-8=-t+，即可解得t的值；
（4）分类讨论：当0＜t≤4时，点P在DF边上运动，tan∠PBF==2；当4＜t≤6时，点P在DE边上运动，作PS⊥BC于S，PE=DE-DP=10-（2t-8）=18-2t．tan∠PBF==．
点评：本题考查了三角函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于这个角的对边与邻边的比；也考查了分类讨论思想的运用以及勾股定理．