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【题目】如图,的直径,分别切于点的延长线于点的延长线交于点于点.

求证

,求的长.

【答案】(1);(2).

【解析】

试题分析:(1)利用切线长定理得到OC平分BCE,即ECO=BCO,利用切线的性质得OBBC,则BCO+COB=90°,由于FEB+FOE=90°,COB=FOE,所以FEB=ECF;

(2)连接OD,如图,利用切线长定理和切线的性质得到CD=CB=6,ODCE,则CE=10,利用勾股定理可计算出BE=8,设O的半径为r,则OD=OB=r,OE=8﹣r,在RtODE中,根据勾股定理得r2+42=(8﹣r)2,解得r=3,所以OE=5,OC=3,然后证明OEF∽△OCB,利用相似比可计算出EF的长.

试题解析(1)证明:CB,CD分别切O于点B,D,

OC平分BCE,即ECO=BCO,OBBC,∴∠BCO+COB=90°,

EFOG,∴∠FEB+FOE=90°,而COB=FOE,∴∠FEB=ECF;

(2)解:连接OD,如图,

CB,CD分别切O于点B,D,CD=CB=6,ODCE,CE=CD+DE=6+4=10,

在RtBCE中,BE==8,

O的半径为r,则OD=OB=r,OE=8﹣r,

在RtODE中,r2+42=(8﹣r)2,解得r=3,

OE=8﹣3=5,

在RtOBC中,OC==3

∵∠COB=FOE,∴△OEF∽△OCB,

,即EF=2

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