【题目】如图,为⊙的直径,分别切⊙于点交的延长线于点,的延长线交⊙于点于点.
⑴求证;
⑵若,求的长.
【答案】(1);(2).
【解析】
试题分析:(1)利用切线长定理得到OC平分∠BCE,即∠ECO=∠BCO,利用切线的性质得OB⊥BC,则∠BCO+∠COB=90°,由于∠FEB+∠FOE=90°,∠COB=∠FOE,所以∠FEB=∠ECF;
(2)连接OD,如图,利用切线长定理和切线的性质得到CD=CB=6,OD⊥CE,则CE=10,利用勾股定理可计算出BE=8,设⊙O的半径为r,则OD=OB=r,OE=8﹣r,在Rt△ODE中,根据勾股定理得r2+42=(8﹣r)2,解得r=3,所以OE=5,OC=3,然后证明△OEF∽△OCB,利用相似比可计算出EF的长.
试题解析(1)证明:∵CB,CD分别切⊙O于点B,D,
∴OC平分∠BCE,即∠ECO=∠BCO,OB⊥BC,∴∠BCO+∠COB=90°,
∵EF⊥OG,∴∠FEB+∠FOE=90°,而∠COB=∠FOE,∴∠FEB=∠ECF;
(2)解:连接OD,如图,
∵CB,CD分别切⊙O于点B,D,∴CD=CB=6,OD⊥CE,∴CE=CD+DE=6+4=10,
在Rt△BCE中,BE==8,
设⊙O的半径为r,则OD=OB=r,OE=8﹣r,
在Rt△ODE中,r2+42=(8﹣r)2,解得r=3,
∴OE=8﹣3=5,
在Rt△OBC中,OC==3,
∵∠COB=∠FOE,∴△OEF∽△OCB,
∴,即,∴EF=2.
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【题目】如图,ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AE=CF.
(1)求证:△BOE≌△DOF;
(2)连接DE、BF,若BD⊥EF,试探究四边形EBDF的形状,并对结论给予证明.
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【题目】某班为满足同学们课外活动的需求,要求购排球和足球若干个.已知足球的单价比排球的单价多元,用元购得的排球数量与用元购得的足球数量相等.
⑴排球和足球的单价各是多少元?
⑵若恰好用去元,有哪几种购买方案?
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【题目】 如图,一次函数与反比例函数的图象交于点和.
(1)填空:一次函数的解析式为 ,反比例函数的解析式为 ;
(2)点是线段上一点,过点作轴于点,连接,若的面积为,求的取值范围.
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【题目】在△ABC中,点E、D、F分别在AB、BC、AC上且DE∥CA,DF∥BA,下列四个判断中不正确的是( )
A.四边形AEDF是平行四边形
B.如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是矩形
C.如果AD⊥BC,那么四边形AEDF是菱形
D.如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形
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