Question

如图，已知直线y=-x+b与双曲线在第一象限内的一支相交于点A、B，与坐标轴交于点C、D，P是双曲线上一点，PO=PD．
（1）试用k、b表示点P的坐标；
（2）若△POD的面积等于1，
①求双曲线在第一象限内的解析式；
②已知点A的纵坐标和点B的横坐标都是2，求△OAB的面积．

Answer 1

（1）在直线y=-x+b中，令y=0，则x=b，即点D（b，0）．
∵PO=PD，
∴根据等腰三角形的三线合一，得点P的横坐标是．
∵点P在双曲线上，
∴y==，
则点P（，）；

（2）①∵△POD的面积等于1，
∴点P的横坐标和纵坐标的乘积是1，
则双曲线在第一象限内的解析式是y=（x＞0）；
②由①中的解析式和点B的横坐标是2，则点B的纵坐标是．
则点B（2，）．
把点B代入y=-x+b，得b=．
则直线的解析式是y=-x+．
令y=0，则x=，即点D（，0）．
则△OAB的面积是×2×-××=．
分析：（1）根据直线的解析式求得点D的坐标，再根据等腰三角形的性质即可求得点P的横坐标，进而根据双曲线的解析式求得点P的纵坐标；
（2）①要求双曲线的解析式，只需求得xy值，显然根据△POD的面积等于1，即可求解；
②由①中的解析式可以进一步求得点B的纵坐标，从而求得直线的解析式，然后求得点B的坐标，即可计算△OAB的面积．
点评：此题综合考查了待定系数法求函数解析式的方法、求直线与坐标轴的交点的方法、等腰三角形的性质以及运用割补法求三角形的面积的方法．