【题目】如图,已知△ABC为等边三角形,点D、E分别在BC、AC边上,AD与BE相交于点F,且AE=CD.
(1)求证:AD=BE;
(2)求∠BFD的度数.
【答案】(1)见解析;(2)60°.
【解析】
(1)利用等边三角形的性质得到一对边相等,一对角相等,再根据已知边相等,利用SAS得到三角形全等,利用全等三角形的对应边相等即可得证;
(2)利用全等三角形对应角相等得到一对角相等,再利用外角性质及等边三角形的性质求出所求角度数.
证明:如图,△ABC为等边三角形,
∴AB=AC, ∠BAC=∠C=60°,
在△ABE和△CAD中,
,
∴△ABE≌△CAD,
∴AD=BE,
(2)由(1)得△ABE≌△CAD,
∴∠ABE=∠CAD,
又∠BFD是△ABF的外角,
∴∠BFD=∠BAD+∠ABE=∠BAD+∠CAD,
又∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°,
∴∠BFD=60°.
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【题目】一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK,△ACB做了一个探究活动:将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处,设AC=BC=a.
(1)如图1,两个三角尺的重叠部分为△ACM,则重叠部分的面积为 , 周长为;
(2)将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°,得到图2,此时重叠部分的面积为 , 周长为;
(3)如果将△MNK绕M旋转到不同于图1,图2的位置,如图3所示,猜想此时重叠部分的面积为多少?并试着加以验证.
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【题目】如图,在中,
,
,点
从
出发以每秒
个单位的速度在线段
上从点
向点
运动,点
同时从
出发以每秒
个单位的速度在线段
上向点
运动,连接
、
,设
、
两点运动时间为
秒
.
(1)运动 秒时,;
(2)运动多少秒时,≌
能成立;
(3)若≌
,
,求
的大小.(用含
的式子表示)
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【题目】如图,长方形ABCD中,AB=8,BC=4,将长方形沿AC折叠,点D落在D′处.
(1)求证:△AFD′≌△CFB;
(2)求线段BF的长度;
(3)试求出重叠部分△AFC的面积.
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【题目】我们知道:任意一个有理数与无理数的和为无理数,任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数,而零与无理数的积为零.由此可得:如果ax+b=0,其中a、b为有理数,x为无理数,那么a=0且b=0.
运用上述知识,解决下列问题:
(1)如果(a-2)+b+3=0,其中a、b为有理数,那么a= ,b= ;
(2)如果(2+)a-(1-
)b=5,其中a、b为有理数,求a+2b的值.
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【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分,对称轴是直线x=1.
①b2>4ac;
②4a+2b+c<0;
③不等式ax2+bx+c>0的解集是x≥3.5;
④若(﹣2,y1),(5,y2)是抛物线上的两点,则y1<y2 .
上述4个判断中,正确的是( )
A.①②
B.①②④
C.①③④
D.②③④
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【题目】如图,四边形ABCD是菱形,点D的坐标是(0, ),以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c恰好经过x轴上A,B两点.
(1)求A,B,C三点的坐标;
(2)求过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点,求平移后抛物线的解析式,并指出平移了多少个单位.
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