Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A、B(1，0)，与y轴交于点D，直线AD：，抛物线顶点为C，作CH⊥x轴于点H.

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线上是否存在点M，使得S△ACD=S△MAB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；

(3)若点P为x轴上方的抛物线上一动点(点P与顶点C不重合)，PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标.

Answer 1

【答案】（1）（2）M（，4）、（，）、（，）（3）P（，）或（，）

【解析】

(1)根据题意直线AD：，可以求出点A坐标，然后把A、B坐标代入表达式求出二次函数解析式即可；

(2)先求出，进而求出，根据面积公式可求出点M的纵坐标，把M的纵坐标代入表达式求出横坐标即可求出M的坐标；

(3) 分类讨论，首先求出直线CM的解析式为，再联立两函数解析式即可得出交点坐标，再利用若点P在对称轴左侧，只能是，得得出答案即可．

解：(1)根据题意可得：，

把点和代入中，

得出：.

(2)如图所示：根据(1)得：

所以：，

连接AC、BC之后求出，

，

故,已知,

的高为4，即M的纵坐标为，

当纵坐标为4的时候，代入表达式：，得出：，

，

当纵坐标为的时候，代入表达式：，得出：，

，

综合得：

(3) ①若点P在对称轴右侧,如图:

只能是，得

延长CP交x轴于M，

设,则，

即

设直线CM的解析式为，

则：，解得：，

，

联立：，解得：或(舍去)

.

②若点P在对称轴左侧,如图:

只能是，得

过A作CA的垂线交PC于点F，作轴于点N.

由得,

由得,

∴ 则，

∴点F坐标为

设直线CF的解析式为,

,解得：，

∴直线CF的解析式，

联立：，解得：或(舍去)

综合上述得：或