Question

已知一次函数y₁=-x+a与X轴、Y轴分别相交于点D、C，和反比例函数相交于A、B两点，且点A（1，3），点B（3，m）．求：
（1）△AOB面积；
（2）利用图象直接写出当x在什么取值范围时，y₁＞y₂；
（3）动点P，从D点出发，以每秒1个单位长度向x轴的负方向移动，经过多长时间三角形ADP是直角三角形？

Answer 1

解：（1）∵把点A（1，3）代入y₁=-x+a得，a=4
代入y₂=得，k=3，
∴一次函数的解析式为y₁=-x+4，反比例函数的解析式为y₂=，
∴点B（3，1）、点C（0，4）、点D（4，0）
∴S_△AOB=S_△COD-S_△COA-S_△BOD
=（4×4-3×1-1×3）÷2
=5；

（2）由函数图象可知，当1＜x＜3时，y₁＞y₂；

（3）过点A作AP₁垂直于x轴，交x轴于P₁，作AP₂垂直于直线CD，交x轴于p₂，则：
∵C（0，4）、D（4，0），A（1，3），
∴∠CDO=45°，∠AP₂P₁=45°，
∴AD==3，
∴AP₁=AD•sin45°=3×=3，
∴AP₁=DP₁=P₁P₂=3
∴DP₂=6．
∴当P点以每秒1个单位长度从点D向x轴的负半轴移动，在第3秒、第6秒时，△APD是一个直角三角形．
分析：（1）分别把点A（1，3）代入一次函数及反比例函数的解析式求出a、k的值，即可得出一次函数与反比例函数的解析式，故可得出B、C、D三点的坐标，再由S_△AOB=S_△COD-S_△COA-S_△BOD即可得出结论；
（2）直接根据函数图象即可得出结论；
（3）过点A作AP₁垂直于x轴，交x轴于P₁，作AP₂垂直于直线CD，交x轴于p₂，利用两点间的距离公式求出AD的长，根据锐角三角函数的定义得出AP₁的长，故可得出DP₁与DP₂的长，由此即可得出结论．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式、三角形的面积公式及三角函数的定义等知识，难度适中．