Question

3．在平面直角坐标系中，正比例函数y=（m+1）x+m-3与一次函数y=（2m+1）x-m交于点A，
（1）求m的值及点A的坐标；
（2）过点A的直线l与坐标轴在第一象限围成等腰直角三角形，交y轴于点B，求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：m-3=0，求出m的值后分别代入两个函数的解析式，然后联立两个函数的解析式即可求出A点的坐标；
（2）利用条件求出直线l的解析式，再求出点B的坐标，最后利用三角形的面积公式即可求出答案．

解答 解：（1）由题意可知：m-3=0，
∴m=3，
∴正比例函数为：y=4x，
一次函数为：y=7x-3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=4x}\\{y=7x-3}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴A的坐标为（1，4）；
（2）设直线l的解析式为：y=kx+b，
把A（1，4）代入y=kx+b，
∴4=k+b，
∴直线l的解析式为：y=kx+4-k，
令x=0代入y=kx+4-k，
∴y=4-k，
∵过点A的直线l与坐标轴在第一象限围成等腰直角三角形，
∴直线l与x轴交点为（4-k，0），
∴把（4-k，0）代入y=kx+4-k，
∴k=4或k=-1，
∵直线l与第一象限围成等腰直角三角形，
∴k＜0，
∴k=-1，
∴直线l的解析式为：y=-x+5，
∴B（0，5），
∴OB=5，
过点A作AD⊥y轴于点D，
∴AD=1，
∴△AOB的面积为：$\frac{1}{2}$AD•OB=$\frac{5}{2}$，

点评 本题考查一次函数的解析式，涉及待定系数求解析式，三角形面积公式等知识，属于综合问题．