Question

12．如图所示，正方形OABC的两边OA，OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以点C为中心，把△CDB旋转90°．
（1）旋转后点D的对应点D′的坐标为（-2，0）或（2，10）；
（2）求线段DD′的长；
（3）求线段CD在旋转过程中扫过的面积．

Answer 1

分析 （1）根据题意，分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，求出点D′到x轴、y轴的距离，即可判断出旋转后点D的对应点D′的坐标是多少即可；
（2）根据勾股定理计算可得；
（3）根据扇形面积计算公式计算可得．

解答 解：（1）因为点D（5，3）在边AB上，
所以AB=BC=5，BD=5-3=2；
①若把△CDB顺时针旋转90°，
则点D′在x轴上，OD′=2，
所以D′（-2，0）；
②若把△CDB逆时针旋转90°，
则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，
所以D′（2，10），
综上，旋转后点D的对应点D′的坐标为（-2，0）或（2，10）．
故答案为：（-2，0）或（2，10）．

（2）∵CD=CD′=$\sqrt{C{B}^{2}+D{B}^{2}}$=$\sqrt{29}$，且∠DCD′=90°
DD′=$\sqrt{C{D}^{2}+CD{′}^{2}}$=$\sqrt{58}$；

（3）线段CD在旋转过程中扫过的面积$\frac{90°•π•（\sqrt{58}）^{2}}{360}$=$\frac{29}{2}$π．

点评 本题主要考查图形的旋转及旋转的性质、勾股定理、扇形面积的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．