练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    （2012•丽水）在直角坐标系中，点A是抛物线y=x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC．

    （1）如图1，当点A的横坐标为
    -1
    -1
    时，矩形AOBC是正方形；
    （2）如图2，当点A的横坐标为-
    12
    时，
    ①求点B的坐标；
    ②将抛物线y=x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y=-x2，试判断抛物线y=-x2经过平移交换后，能否经过A，B，C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由．
    分析：（1）过点A作AD⊥x轴于点D，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠AOC=45°，所以∠AOD=45°，从而得到△AOD是等腰直角三角形，设点A坐标为（-a，a），然后利用点A在抛物线上，把点的坐标代入解析式计算即可得解；
    （2）①过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，先利用抛物线解析式求出AE的长度，然后证明△AEO和△OFB相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出OF与BF的关系，然后利用点B在抛物线上，设出点B的坐标代入抛物线解析式计算即可得解；
    ②过点C作CG⊥BF于点G，可以证明△AEO和△BGC全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=OE，BG=AE，然后求出点C的坐标，再根据对称变换以及平移变换不改变抛物线的形状利用待定系数法求出过点A、B的抛物线解析式，把点C的坐标代入所求解析式进行验证变换后的解析式是否经过点C，如果经过点C，把抛物线解析式转化为顶点式解析式，根据顶点坐标写出变换过程即可．
    解答：解：（1）如图，过点A作AD⊥x轴于点D，
    ∵矩形AOBC是正方形，
    ∴∠AOC=45°，
    ∴∠AOD=90°-45°=45°，
    ∴△AOD是等腰直角三角形，
    设点A的坐标为（-a，a）（a≠0），
    则（-a）2=a，
    解得a1=1，a2=0（舍去），
    ∴点A的横坐标-a=-1，
    故答案为：-1；

    （2）①过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，
    当x=-
    1
    2
    时，y=（-
    1
    2
    ）2=
    1
    4
    ，
    即OE=
    1
    2
    ，AE=
    1
    4
    ，
    ∵∠AOE+∠BOF=180°-90°=90°，
    ∠AOE+∠EAO=90°，
    ∴∠EAO=∠BOF，
    又∵∠AEO=∠BFO=90°，
    ∴△AEO∽△OFB，
    ∴
    OF
    BF
    =
    AE
    EO
    =
    1
    4
    1
    2
    =
    1
    2
    ，
    设OF=t，则BF=2t，
    ∴t2=2t，
    解得：t1=0（舍去），t2=2，
    ∴点B（2，4）；

    ②过点C作CG⊥FB的延长线于点G，
    ∵∠AOE+∠EAO=90°，∠FBO+∠CBG=90°，∠AOE=∠FBO，
    ∴∠EAO=∠CBG，
    在△AEO和△BGC中，
    ∠AEO=∠G=90°
    ∠EAO=∠CBG
    AO=CB
    ，
    ∴△AEO≌△BGC（AAS），
    ∴CG=OE=
    1
    2
    ，BG=AE=
    1
    4
    ．
    ∴xc=2-
    1
    2
    =
    3
    2
    ，yc=4+
    1
    4
    =
    17
    4
    ，
    ∴点C（
    3
    2
    ，
    17
    4
    ），
    设过A（-
    1
    2
    ，
    1
    4
    ）、B（2，4）两点的抛物线解析式为y=-x2+bx+c，由题意得，
    -
    1
    4
    -
    1
    2
    b+c=
    1
    4
    -4+2b+c=4
    ，
    解得
    b=3
    c=2
    ，
    ∴经过A、B两点的抛物线解析式为y=-x2+3x+2，
    当x=
    3
    2
    时，y=-（
    3
    2
    ）2+3×
    3
    2
    +2=
    17
    4
    ，所以点C也在此抛物线上，
    故经过A、B、C三点的抛物线解析式为y=-x2+3x+2=-（x-
    3
    2
    ）2+
    17
    4
    ．
    平移方案：先将抛物线y=-x2向右平移
    3
    2
    个单位，再向上平移
    17
    4
    个单位得到抛物线y=-（x-
    3
    2
    ）2+
    17
    4
    ．
    点评：本题是对二次函数的综合考查，包括正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求抛物线解析式，综合性较强，难度较大，要注意利用点的对称、平移变换来解释抛物线的对称平移变换，利用点研究线也是常用的方法之一．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•丽水）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•丽水）为了解中学300名男生的身高情况，随机抽取若干名男生进行身高测量，将所得数据整理后，画出频数分布直方图（如图）．估计该校男生的身高在169.5cm～174.5cm之间的人数有（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•丽水）如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=
    		3
    ，AB=6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF=120°．
    （1）当点E是AB的中点时，线段DF的长度是
    6
    6
    ；
    （2）若射线EF经过点C，则AE的长是
    2或5
    2或5
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•丽水）在△ABC中，∠ABC=45°，tan∠ACB=
    3
    5
    ．如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB=14，OC=
    10
    3
    		34
    ，AC与y轴交于点E．

    （1）求AC所在直线的函数解析式；
    （2）过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积；
    （3）已知点F（10，0），在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案