在△ABC中.∠ABC=45°.tan∠ACB=35．如图.把△ABC的一边BC放置在x轴上.有OB=14.OC=10334.AC与y轴交于点E．(1)求AC所在直线的函数解析式,(2)过点O作OG⊥AC.垂足为G.求△OEG的面积,.在△ABC的边上取两点P.Q.是否存在以O.P.Q为顶点的三角形与△OFP全等.且这两个三角形在OP的异侧?若存在.请求出所有符合条� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（2012•丽水）在△ABC中，∠ABC=45°，tan∠ACB=

．如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB=14，OC=

，AC与y轴交于点E．

（1）求AC所在直线的函数解析式；
（2）过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积；
（3）已知点F（10，0），在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：（1）根据三角函数求E点坐标，运用待定系数法求解；
（2）在Rt△OGE中，运用三角函数和勾股定理求EG，OG的长度，再计算面积；
（3）分两种情况讨论求解：①点Q在AC上；②点Q在AB上③当Q在BC边上时．求直线OP与直线AC的交点坐标即可．

解答：解：（1）在Rt△OCE中，OE=OCtan∠OCE=

，∴点E（0，2

）．
设直线AC的函数解析式为y=kx+2

，有

k+2

=0，解得：k=-

．
∴直线AC的函数解析式为y=-

x+2

．
（2）在Rt△OGE中，tan∠EOG=tan∠OCE=

，
设EG=3t，OG=5t，OE=

EG2+OG2

t，∴2

t，得t=2，
故EG=6，OG=10，
∴S_△OEG=

OG×EG=

×10×6=30．
（3）存在．
①当点Q在AC上时，点Q即为点G，
如图1，作∠FOQ的角平分线交CE于点P₁，

由△OP₁F≌△OP₁Q，则有P₁F⊥x轴，由于点P₁在直线AC上，当x=10时，
y=-

×10+2

-6，
∴点P₁（10，2

- 6）．
②当点Q在AB上时，
如图2，有OQ=OF，作∠FOQ的角平分线交CE于点P₂，

过点Q作QH⊥OB于点H，设OH=a，
则BH=QH=14-a，
在Rt△OQH中，a²+（14-a）²=100，
解得：a₁=6，a₂=8，
∴Q（-6，8）或Q（-8，6）．
连接QF交OP₂于点M．
当Q（-6，8）时，则点M（2，4）．
当Q（-8，6）时，则点M（1，3）．
设直线OP₂的解析式为y=kx，则
2k=4，k=2．
∴y=2x．
解方程组

y=2x

y=-

x+2

，得

．
∴P₂（

，

）；
当Q（-8，6）时，则点M（1，3），
同理可求P₃（

，

）；

如备用图4，由QP₄∥OF，QP₄=OF=10，
设点P₄的横坐标为x，则点Q的横坐标为（x-10），
∵y_Q=y_P，直线AB的函数解析式为：y=x+14，
∴x-10+14=-

x+2

，
解得：x=

-10

，可得y=

，
∴点P₄（

-10

，

），
当Q在BC边上时，如图5，

③当Q在BC边上时，如图5，OQ=OF=10，点P₅在E点，
∴P₅（0，2

），
综上所述，满足条件的P点坐标为（10，2

- 6）或（

，

）或（

，

）或（0，2

），（

-10

，

）．

点评：此题考查一次函数的综合应用，运用了分类讨论的数学思想方法，综合性强，难度大．

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