Question

18．如图，正方形ABCD的边CD与正方形CEFG的边CE重合，点O是EG的中点，∠CGE的平分线GH过点D，交BE于H，连接OH、FH、EG与FH交于M，对于下面四个结论：
①GH⊥BE；
②HO∥BG，HO=$\frac{1}{2}$BG；
③点H不在正方形CGFE的外接圆上；
④△GBE∽△GMF．
其中结论正确的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，得出△BCE≌△DCG，推出∠BEC+∠HDE=90°，从而得GH⊥BE；
（2）由GH是∠EGC的平分线，得出△BGH≌△EGH，再由O是EG的中点，利用中位线定理，得HO∥BG，$HO=\frac{1}{2}BG$；
（3）△EHG是直角三角形，因为O为EG的中点，所以OH=OG=OE，得出点H在正方形CGFE的外接圆上；
（4）连接CF，由点H在正方形CGFE的外接圆上，得到∠HFC=∠CGH，由∠HFC+∠FMG=90°，∠CGH+∠GBE=90°，得出∠FMG=∠GBE，所以△GBE∽△GMF．

解答 解：（1）如图1，

∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCE=∠DCG，
在△BCE和△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BCE=∠DCG}\\{CE=CG}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴∠BEC=∠BGH，
∵∠BGH+∠CDG=90°，∠CDG=∠HDE，
∴∠BEC+∠HDE=90°，
∴GH⊥BE．
故①正确；
（2）∵GH是∠EGC的平分线，
∴∠BGH=∠EGH，
在△BGH和△EGH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BGH=∠EGH}\\{GH=GH}\\{∠GHB=∠GHE}\end{array}\right.$，
∴△BGH≌△EGH（ASA），
∴BH=EH，
又∵O是EG的中点，
∴HO是△EBG的中位线，
∴HO∥BG，HO=$\frac{1}{2}$BG，
故②正确；
（3）由（1）得△EHG是直角三角形，
∵O为EG的中点，
∴OH=OG=OE，
∴点H在正方形CGFE的外接圆上，
故③错误；
（4）如图2，连接CF，

由（3）可得点H在正方形CGFE的外接圆上，
∴∠HFC=∠CGH，
∵∠HFC+∠FMG=90°，∠CGH+∠GBE=90°，
∴∠FMG=∠GBE，
又∵∠EGB=∠FGM=45°，
∴△GBE∽△GMF．
故④正确，
故选：C．

点评 本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是能灵活利用三角形全等的判定和性质来解题．