Question

4．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AE⊥CD于E，DE=3，AE=4，对角线DB平分∠ADC．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）如图2，一动点P从D点出发，以2个单位/秒的速度沿折线DA-AB匀速运动，另一动点Q从E点出发，以1个单位/秒的速度沿EC匀速运动，P、Q同时出发，当Q与C重合时，P、Q停止运动，在点P的运动过程中，过P作PM⊥DC于M，在点P、Q的运动过程中，以PM、MQ为两边作矩形PMQN，使矩形PMQN在直线DC上侧，直线AD右侧，设运动时间为t秒（t＞0）．在整个运动过程中，设矩形PMQN和CBD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）如图3，动点P从D点出发，以2个单位/秒的速度沿线段DA运动到A点后，可沿直线AB方向向左或右匀速运动，过点P作PF∥AD交CB的延长线于G点，交CD于F点，在直线AB上是否存在H点，使得△FGH为等腰直角三角形？若存在，求出对应的BH的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据勾股定理得出AD的长，再证明△ADB是等腰三角形，得出AB=AD，最后利用梯形面积公式解答即可；
（2）根据AD，AB，EC的长度，以及P，Q的速度分情况讨论，得出函数关系式并结合自变量的范围解答即可；
（3）根据全等三角形的判定和性质得出△HFW≌△FGC，再利用三角函数求出WF的值后可得BH的值，注意分情况进行分析．

解答 解：在Rt△ADE中，AD=$\sqrt{D{E}^{2}+A{E}^{2}}=5$，
∵AB∥CD，
∴∠ADB=∠CBD，
∵BD平分∠ADC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ADB=∠CBD，
∴AB=AD=5，
∵AB∥CD，∠C=90°，AE⊥CD，
∴四边形ABCE为矩形，
∴CE=AB=5，
∴DC=DE+CE=8，
${S}_{梯形ABCD}=\frac{1}{2}（AB+CD）•AE=26$；
（2）∵点P从D点出发，以2个单位/秒的速度沿折线DA-AB匀速运动，动点Q从E点出发，以1个单位/秒的速度沿EC匀速运动，
所以可得三种情况，当矩形在BD下侧时，函数关系式为：$S=-\frac{33}{25}{t}^{2}+\frac{24}{5}t$，此时自变量范围是（$0＜t≤\frac{15}{11}$）；
当矩形在BD上侧，且点P到A点之间时，函数关系式为：$S=-\frac{11}{100}{t}^{2}+\frac{3}{2}t+\frac{9}{4}$，此时自变量的范围是（$\frac{15}{11}＜t≤\frac{5}{2}$）；
当点P在AB之间，且点E刚到达E点时，期间的函数关系式为：$S=-\frac{3}{4}{t}^{2}+\frac{7}{2}t+\frac{5}{4}$，此时自变量的范围是（$\frac{5}{2}＜t≤5$）；
（3）存在，理由如下：
①若∠GFH=90°，过H作HW⊥CD于W，如图1，图2，

∴△HFW≌△FGC，
∴WH=FC=4，WF=CG=$\frac{FC}{tan∠GFC}=\frac{4}{\frac{4}{3}}=3$，
∴BH=WC=WF±CF=7或1；
②若∠FHG=90°，过H作HW⊥CD于W，如图3，图4，

∴△HFW≌△HGB，
∴HW=BH=4，
③若∠FGH=90°，如图5，图6，

∴△CFG≌△BGH，令CF=BG=3x，
∴CG=BH=4x，
∴4x±3x=4，
∴x=$\frac{4}{7}$或x=7，
∴BH=$\frac{16}{7}$或28．

点评 此题考查的是函数和四边形的综合题，难度比较大，关键是勾股定理和矩形的判定，注意动点运动的各种情况，不能漏解．