Question

3．如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于A、B，将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB，若C（$\frac{3}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$），则：
①A点的坐标是（1，0）．
②该一次函数的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出CO，AO的长，进而得出A，B点坐标，再利用待定系数法求出直线AB的解析式．

解答 解：①连接OC，过点C作CD⊥x轴于点D，
∵将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB，C（$\frac{3}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$），
∴AO=AC，OD=$\frac{3}{2}$，DC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BO=BC，
则tan∠COD=$\frac{CD}{OD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，故∠COD=30°，∠BOC=60°，
∴△BOC是等边三角形，且∠CAD=60°，
则sin60°=$\frac{CD}{AC}$，即AC=$\frac{CD}{sin60°}$=1，
故A（1，0），
②∵sin30°=$\frac{CD}{CO}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{CO}$=$\frac{1}{2}$，
∴CO=$\sqrt{3}$，故BO=$\sqrt{3}$，B点坐标为：（0，$\sqrt{3}$），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
即直线AB的解析式为：y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$．
故答案为：（1，0），y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了翻折变换的性质以及锐角三角函数关系和待定系数法求一次函数解析式等知识，得出A，B点坐标是解题关键．