Question

13．如图，已知抛物线y=-ax²+2ax+3a（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）请直接写出A、B两点的坐标．
（2）当a=$\sqrt{3}$，设直线AC与抛物线的对称轴交于点P，请求出△ABP的面积．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线与x轴的交点问题，通过解方程-ax²+2ax+3a=0即可得到A（3，0），B（-1，0）；
（2）当a=$\sqrt{3}$时，y=-$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$，先确定C点坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$，接着确定P点坐标，然后根据三角形面积公式求解．

解答 解：（1）令y=0，-ax²+2ax+3a=0，
整理得x²-2x-3=0，
解得x₁=3，x₂=-1，
所以A（3，0），B（-1，0）；
（2）当a=$\sqrt{3}$时，y=-$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$，
当x=0时，y=3$\sqrt{3}$，则C（0，3$\sqrt{3}$），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（3，0），C（0，3$\sqrt{3}$）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=3\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
所以直线AC的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$，
而抛物线的对称轴为直线x=1，
当x=1时，y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，则P（1，2$\sqrt{3}$），
所以△APB的面积=$\frac{1}{2}$×（3+1）×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点问题：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．