Question

4．如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D与点B重合，点C落在点C′的位置上，若∠BFE=67.5°，AE=2．
（1）求∠AEB的度数；
（2）求长方形纸片ABCD的纸片的面积．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC与折叠的性质，可求得∠BEF=∠DEF=∠BFE=67.5°，继而求得答案；
（2）首先由直角三角形的性质，可求得∠ABE=∠AEB=45°，即可得AB=AE=2，然后由勾股定理求得BE的长，继而求得AD的长，则可求得答案．

解答 解：（1）∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠BFE=67.5°；
又∵∠BEF=∠DEF=67.5°，
∴∠AEB=180°-∠BEF-∠DEF=180°-67.5°-67.5°=45°；

（2）在直角△ABE中，由（1）知∠AEB=45°，
∴∠ABE=90°-∠AEB=90°-45°=45°，
∴AB=AE=2，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
又∵AD=AE+DE=AE+BE=2+2$\sqrt{2}$，
∴长方形纸片ABCD的面积为：AB×AD=2×（2+2$\sqrt{2}$）=4+4$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质．注意掌握折叠前后图形的对应关系．