如图1.AO为△ABC的高线.OB=OC=1.OA=3．(1)求证:∠ABC=∠ACB,(2)如图2.D为CB延长线上一点.BD=2.过D作DE⊥AC于E.DE交OA于F.交AB于G.求OF的长度,(3)如图3.P为AC边上一动点.Q为AB延长线上一动点.且CP=BQ.连接PQ交BC于点M.过P作PN⊥BC于点N．当P点运动时.线段MN的长度是否发生变化?若不变.求出它� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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16．如图1，AO为△ABC的高线，OB=OC=1，OA=3．
（1）求证：∠ABC=∠ACB；
（2）如图2，D为CB延长线上一点，BD=2，过D作DE⊥AC于E，DE交OA于F，交AB于G，求OF的长度；
（3）如图3，P为AC边上一动点，Q为AB延长线上一动点，且CP=BQ，连接PQ交BC于点M，过P作PN⊥BC于点N．当P点运动时，线段MN的长度是否发生变化？若不变，求出它的长度；若变化，确定其变化范围．

分析（1）证明△AOB≌△AOC，根据全等三角形的性质证明；
（2）证明△ABO≌△DFO，根据全等三角形的性质解答即可；
（3）作QE⊥BC交CB的延长线于E，证明△EBQ≌△CNP，得到EB=CN，EQ=PN，根据平行线的性质得到EM=MN，求出MN即可．

解答解：（1）∵AO为△ABC的高线，
∴∠AOB=∠AOC=90°，
在△AOB和△AOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠AOB=∠AOC}\\{OA=OA}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△AOC，
∴∠ABC=∠ACB；
（2）∵DE⊥AC，
∴∠C+∠D=90°，
∵AO为△ABC的高线，
∴∠D+∠DFO=90°，
∴∠C=∠DFO，
∴∠ABO=∠DFO，
∵BD=2，OB=1，OA=3，
∴OD=AO，
在△ABO和△DFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABO=∠DFO}\\{∠AOB=∠DOF}\\{OA=OD}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△DFO，
∴OF=OB=1；
（3）如图3，作QE⊥BC交CB的延长线于E，
∵∠ABC=∠C，∠EBQ=∠ABC，
∴∠EBQ=∠C，
在△EBQ和△CNP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBQ=∠C}\\{∠BEQ=∠CNP=90°}\\{BQ=CP}\end{array}\right.$，
∴△EBQ≌△CNP，
∴EB=CN，EQ=PN，
∴EM=EB+BM=CN+BM，
∵EQ∥PN，EQ=PN，
∴EM=MN，
∴MN=CN+BM=$\frac{1}{2}$BC=1，
则线段MN的长度不变化，它的长度是1．

点评本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的高、中线的概念，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

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