Question

8．如图，△ABC是锐角三角形，∠C=α，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，连接DE．则S_△DEC：S_△ABC=（　　）

• A． cos²α
• B． $\frac{1}{co{s}^{2}α}$
• C． sin²α
• D． tan²α

Answer 1

分析 利用三角形面积公式得到S_△DEC=$\frac{1}{2}$•CE•CD•sinα，S_△ABC=$\frac{1}{2}$•CA•CB•sinα，则$\frac{{S}_{△CDE}}{{S}_{△CAB}}$=$\frac{CE•CD}{CA•CB}$，再利用余弦的定义得到cosα=$\frac{CE}{CB}$，cosα=$\frac{CD}{CA}$，于是得到$\frac{{S}_{△CDE}}{{S}_{△CAB}}$=cos²α．

解答 解：∵S_△DEC=$\frac{1}{2}$•CE•CD•sinα，S_△ABC=$\frac{1}{2}$•CA•CB•sinα，
∴$\frac{{S}_{△CDE}}{{S}_{△CAB}}$=$\frac{CE•CD}{CA•CB}$，
在Rt△BCE中，cosα=$\frac{CE}{CB}$，
在Rt△ADC中，cosα=$\frac{CD}{CA}$，
∴$\frac{{S}_{△CDE}}{{S}_{△CAB}}$=cosα•cosα=cos²α．
故选A．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．注意三角函数定义的灵活应用．