Question

15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD相交于点E，且AB=AC，BD平分∠ABC，AD、BC延长线交于点F．
（1）求证：∠ADB=∠CDF；
（2）求证：AB=CF．

Answer 1

分析 （1）先根据AB=AC得出∠ABC=∠ACB，再由圆周角定理得出∠ADB=∠ACB，根据圆内接四边形的性质得出∠CDF=∠ABC，进而可得出结论；
（2）根据角平分线的性质得出∠ABD=∠CBD，再由圆周角定理得出∠CBD=∠CAD，故可得出∠ABD=∠CAD．根据圆内接四边形的性质得出∠DCF=∠BAD，再由（1）可知∠ADB=∠CDF，故可得出∠F=∠ABD，所以∠F=∠CAD，故可得出AC=CF，进而得出结论．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵∠ADB与∠ACB是同弧所对的圆周角，
∴∠ADB=∠ACB．
∵∠CDF=∠ABC，
∴∠ADB=∠CDF；

（2）证明：∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠CBD．
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠ABD=∠CAD．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠DCF=∠BAD．
∵由（1）可知∠ADB=∠CDF，
∴∠F=∠ABD，
∴∠F=∠CAD，
∴AC=CF．
∵AB=AC，
∴AB=CF．

点评 本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．