Question

如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．

（1）如图①，当时，求的值；
（2）如图②当DE平分∠CDB时，求证：AF=OA；
（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=BG．

Answer 1

解：（1）∵，∴。
∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD=BC。∴△CEF∽△ADF。
∴。∴。∴。
（2）证明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF。
又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线．∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD。
又∵∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF，∴∠ADF=∠AFD。∴AD=AF。
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：，∴AF=OA。
（3）证明：连接OE，

∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点，
∴点O是BD的中点。
又∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线。
∴OE∥CD，OE=CD。∴△OFE∽△CFD。
∴。∴。
又∵FG⊥BC，CD⊥BC，∴FG∥CD。∴△EGF∽△ECD。∴。
在Rt△FGC中，∵∠GCF=45°，∴CG=GF。
又∵CD=BC，∴。∴。∴CG=BG。

试题分析：（1）利用相似三角形的性质求得EF于DF的比值，依据△CEF和△CDF同高，则面积的比就是EF与DF的比值，据此即可求解。
（2）利用角之间的关系到证得∠ADF=∠AFD，可以证得AD=AF，在Rt△AOD中，利用勾股定理可以证得。
（3）连接OE，易证OE是△BCD的中位线，然后根据△FGC是等腰直角三角形，易证△EGF∽△ECD，利用相似三角形的对应边的比相等即可证得。