Question

如图，已知抛物线y=x²+bx+c经过A（-1，0）、B（4，5）两点，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求tan∠ABO的值；
（3）点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的横坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将A（-1，0）、B（4，5）分别代入y=x²+bx+c求出b和c的值即可；
（2）过点O作OH⊥AB，垂足为H，根据勾股定理可求出AB的长，进而得到：在Rt△BOH中，tan∠ABO=

OH

BH

=

2

2

×

2

9 2

=

1

9

．
（3）设点M的坐标为（x，x²-2x-3），点N的坐标为（x，x+1），在分两种情况：当点M在点N的上方时和当点M在点N的下方时，则四边形NMCB是平行四边形讨论求出符合题意的点M的横坐标即可．

解答：解：（1）将A（-1，0）、B（4，5）分别代入y=x²+bx+c，得

1-b+c=0 16+4b+c=5

，
解得b=-2，c=-3．
∴抛物线的解析式：y=x²-2x-3．

（2）在Rt△BOC中，OC=4，BC=5．
在Rt△ACB中，AC=AO+OC=1+4=5，
∴AC=BC．
∴∠BAC=45°，AB=

AC2+BC2

=5

2

．
如图1，过点O作OH⊥AB，垂足为H．

在Rt△AOH中，OA=1，
∴AH=OH=OA×sin45°=1×

2

2

=

2

2

，
∴BH=AB-AH=5

2

-

2

2

=

9 2

2

，
在Rt△BOH中，tan∠ABO=

OH

BH

=

2

2

×

2

9 2

=

1

9

．

（3）直线AB的解析式为：y=x+1．
设点M的坐标为（x，x²-2x-3），
点N的坐标为（x，x+1），
①如图2，当点M在点N的上方时，

则四边形MNCB是平行四边形，MN=BC=5．
由MN=（x²-2x-3）-（x+1）=x²-2x-3-x-1=x²-3x-4，
解方程x²-3x-4=5，
得x=

3+3 5

2

或x=

3-3 5

2

．
②如图3，当点M在点N的下方时，则四边形NMCB是平行四边形，NM=BC=5．

由MN=（x+1）-（x²-2x-3）
=x+1-x²+2x+3=-x²+3x+4，
解方程-x²+3x+4=5，
得x=

3+ 5

2

或x=

3- 5

2

．
所以符合题意的点M有4个，
其横坐标分别为：

3+3 5

2

，

3-3 5

2

，

3+ 5

2

，

3- 5

2

．

点评：本题考查了二次函数综合题．其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的判定和性质，解一元二次方程以及抛物线的性质以及最值的求解方法．解答（3）题时要分类讨论．