Question

如图，在菱形ABCD中，点M是对角线AC上一点，且MC=MD．连接DM并延长，交边BC于点F．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）若DF⊥BC，求证：点F是边BC的中点．

Answer 1

考点：菱形的性质,等腰三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）由在菱形ABCD中，MC=MD，易得∠1=∠ACD=∠2，即可证得：∠1=∠2；
（2）首先连接BD，由DF⊥BC，易求得∠BCD=60°，即可得△BCD是等边三角形，然后由三线合一，证得点F是边BC的中点．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠ACD，
∵MC=MD，
∴∠ACD=∠2，
∴∠1=∠2；

（2）连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACB=∠ACD，BC=CD，
∵∠ACD=∠2，
∴∠ACB=∠ACD=∠2，
∵DF⊥BC，
∴3∠2=90°，
∴∠2=30°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BF=CF，
即点F是边BC的中点．

点评：此题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．