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【题目】如图1,Rt△ABC中,∠ACB=Rt∠,AC=8,BC=6,点D为AB的中点,动点P从点A出发,沿AC方向以每秒1个单位的速度向终点C运动,同时动点Q从点C出发,以每秒2个单位的速度先沿CB方向运动到点B,再沿BA方向向终点A运动,以DP,DQ为邻边构造PEQD,设点P运动的时间为t秒.

(1)当t=2时,求PD的长;

(2)如图2,当点Q运动至点B时,连结DE,求证:DE∥AP.

(3)如图3,连结CD.

①当点E恰好落在△ACD的边上时,求所有满足要求的t值;

②记运动过程中PEQD的面积为S,PEQD与△ACD的重叠部分面积为S1,当时,请直接写出t的取值范围是 ______ .

【答案】(1)(2)证明见解析(3)①分三种情况讨论:满足要求的t的值为.②当时, t的取值范围是t

【解析】(1)如图1中,作DF⊥CA于F,

t=2时,AP=2,DF=ADsinA=5×=3,

AF=ADcosA=5×=4,

∴PF=4-2=2,

PD===

(2)如图2中,

在平行四边形PEQD中,

∵PE∥DQ,

∴PE∥AD,

∵AD=DQ.PE=DQ,

∴PE=AD,

∴四边形APED是平行四边形,

∴DE∥AP.

(3)①分三种情况讨论:

Ⅰ.当点E在CA上时,

DQ⊥CB(如图3所示),

∵∠ACB=Rt∠,CD是中线,∴CD=BD,∴CQ=CB=3即:t=

Ⅱ.当点E在CD上,且点Q在CB上时 (如图4所示),

过点E作EG⊥CA于点G,过点D作DH⊥CB于点H,

易证Rt△PGE≌Rt△PHQ,∴PG=DH=4,

∴CG=4-t,GE=HQ=CQ-CH=2t-3,

∵CD=AD,∴∠DCA=∠DAC

∴在RtCEG中,tanECG===t=

Ⅲ.当点E在CD上,且点Q在AB上时(如图5所示),过点E作EF⊥CA于点F,

∵CD=AD,∴∠CAD=∠ACD.

∵PE∥AD,∴∠CPE=∠CAD=∠ACD,∴PE=CE,

PF=PC=,PE=DQ=11-2t

∴在RtPEF中,cosEPF===

t=

综上所述,满足要求的t的值为

②如图6中,PE交CD于E′,作E′G′⊥AC于G′,EG⊥AC于G.

当△PDE′的面积等于平行四边形PEDQD的面积的时,PE′:EE′=2:1,

由(Ⅱ)可知CG=4-t,GE=2t-3,

∴PG=8-t-(4-t)=4,

∵E′G′∥EG,

===

PG=,E′G′=(2t-3),CG′=8-t-=-t

tanECG==

解得t=

如图7中,当点Q在AB上时,PE交CD于E′,作E′G′⊥AC于G′.

∵△PDE′的面积等于平行四边形PEDQD的面积的

∴PE′:EE′=2:1,

由Ⅲ可知,PG′=PC=4-t,PE′=DQ=(11-2t),

cosEPG==

解得t=

综上所述,当时,请直接写出t的取值范围是t

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