Question

【题目】如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形BCE，连接AE，DE．

（1）求证：AE＝DE

（2）过点D作DF⊥AE，垂足为F，若AB＝2cm，求DF的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）证明△ABE≌△DCE，可得结论；

（2）作辅助线，构建直角三角形，根据等腰三角形的性质得∠BCG＝30°，∠DEF＝30°，利用正方形的边长计算DE的长，从而得DF的长．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°，

∵△BCE是等边三角形，

∴BE＝CE，∠EBC＝∠ECB＝60°，

即∠ABE＝∠DCE＝150°，

∴△ABE≌△DCE，

∴AE＝DE；

（2）解：过点E作EG⊥CD于G，

∵DC＝CE，∠DCE＝150°，

∴∠CDE＝∠CED＝15°，

∴∠ECG＝30°，

∵CB＝CD＝AB＝2，

∴EG＝1，CG＝，

在Rt△DGE中，DE＝，

在Rt△DEF中，∠EDA＝∠DAE＝90°﹣15°＝75°

∴∠DEF＝30°，

∴DF＝DE＝（cm）．