Question

17．如图①，△ABC和△DEF是两个全等的等腰三角形，
（1）固定△ABC，将△DEF的顶点E固定在△ABC的BC边上的中点处，△DEF绕点E在BC边上方左右旋转，设旋转时DE交AB于点H（H点不与B点重合），EF交AC于点G（G点不与C点重合），求证：BH•GC=BE²；
（2）如图②，△DEF的顶点E在△ABC的BC边上滑动（E点不与B、C点重合），且DE始终经过点A，过点A作AG∥DF，交EF于点G，连接CG，探究：CE+CG=BC，请予证明．

Answer 1

分析 （1）由全等三角形和等腰三角形的性质得出∠B=∠C=∠DEF=∠F，再由三角形的外角性质得出∠BHE=∠GEC，证出△BEH∽△CGE，得出对应边成比例，得出BE•CE=CG•BH，再结合已知即可得出结论；
（2）由平行线的性质得出∠AGE=∠F，∠EAG=∠D，由等腰三角形的性质得出∠AGE=∠DEF，证出AE=AG，由SAS证明△ABE≌△ACG，得出BE=CG，即可得出结论．

解答 解：（1）∵△ABC和△DEF是全等的等腰三角形
∴∠B=∠C=∠DEF=∠F，
∵∠DEC=∠B+∠BHE=∠DEF+∠GEC
∴∠BHE=∠GEC，
∴△BEH∽△CGE，
∴$\frac{BE}{CG}=\frac{BH}{CE}$
即BE•CE=CG•BH，
∵点E是BC的中点
∴BE=CE，
∴BH•GC=BE²
（2）解：∵AG∥DF，
∴∠AGE=∠F，∠EAG=∠D
∵∠F=∠DEF，
∴∠AGE=∠DEF，
∴AE=AG，
∵∠BAC=∠D，
∴∠BAC=∠EAG，
∴∠BAE=∠CAG，
在△ABE和△ACG中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠BAE=∠CAG}&{\;}\\{AE=AG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACG（SAS），
∴BE=CG，
∴CE+CG=CE+BE=BC；
故答案为：BC．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形相似和全等是解决问题的关键．