Question

12．已知，点D、E、F分别是等边△ABC的三条边AB、BC、CA上的点．
（1）如图（1），若ED⊥AB，DF⊥AC，FE⊥BC，求证：△DEF是等边三角形；
（2）如图（2），若AD=BE=CF，求证：△DEF是等边三角形；
（3）如图（3），若△DEF是等边三角形，求证：AD=BE=CF．

Answer 1

分析 （1）只要证明∠EDF=∠DFE=∠FED=60°即可解决问题．
（2）根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA，AD=BE=CF，进一步证得BD=EC=AF，即可证得△ADF≌△BED≌△CFE，根据全等三角形的性质得出DE=EF=FD，即可证得△DEF是等边三角形；
（3）由等边三角形的性质可知∠A=∠B=60°，DF=DE，且∠FDE=60°，所以可得出∠AFD=∠BDE，从而可证得△ADF≌△BED，同理可证得其它三角形全等，利用全等三角形的性质证得结论

解答 证明：（1）如图1中，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵ED⊥AB，D⊥AC，EF⊥CB，
∴∠BDE=∠DFA=∠FEC=90°，
∴∠BED=∠ADF=∠CFE=30°，
∴∠EDF=∠DFE=∠FED=60°，
∴△DEF是等边三角形．

（2）如图2中，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA，
∵AD=BE=CF，
∴BD=EC=AF，
在△ADF、△BED和△CFE中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BE=CF}\\{∠A=∠B=∠C}\\{BD=CE=AF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BED≌△CFE，
∴DE=EF=FD，
∴△DEF是等边三角形；


（3）如图3中，

∵△ABC，△DEF是等边三角形，
∴∠A=∠B=60°，DF=DE，且∠FDE=60°，
∴∠BAD+∠ADF=∠ADF+∠AFD=120°，
∴∠AFD=∠BDE，
在△ADF和△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠B}\\{∠AFD=∠BDE}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BED（AAS），
同理可得：△ADF≌△CFE，
∴△ADF≌△CFE≌△BED；
∴AD=BE=CF．

点评 此题考查了等边三角形性质，含30度角的直角三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要锻炼学生的推理能力，属于中考常考题型．