Question

【题目】已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图甲摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠BAC=∠DEF=90°，∠ABC=45°，BC=9cm，DE=6cm，EF=8cm．如图乙，△DEF从图甲的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△DEF的顶点F出发，以3cm/s的速度沿FD向点D匀速移动．当点P移动到点D时，P点停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接BQ、PQ，设移动时间为t（s）．解答下列问题：

（1）设三角形BQE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

（2）当t为何值时，三角形DPQ为等腰三角形？

（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、B三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（）；（2）见解析；（3）当s，点P、Q、B三点在同一条直线上．

【解析】

试题分析：（1）在Rt△DEF中由勾股定理可以得到DF=10．同理，在Rt△ABC中，∠ABC=45°，所以△ABC为等腰直角三角形；由DE⊥BC，∠ACB=45°，知△QEC也是等腰直角三角形，所以，QE=CE=t，则BE=BC﹣CE=9﹣t；则△BQE的面积y=BEQE（0＜t≤）；

（2）在Rt△DEF中，DE=6，DF=10，所以，cos∠D=，sin∠D=；在Rt△PDG中，通过sin∠D求得PG、cos∠D解得DG，

那么GQ=DQ﹣DG；在Rt△PGQ中，利用勾股定理，求得PQ2．若△DPQ为等腰三角形时，分三种情况：①若DP=DQ；②若DP=PQ；③当DQ=PQ时；

（3）①当t=0时，点B、P、Q在同一条直线上；

②当B、Q、P在同一直线上时，过点P作DE的垂线，垂足为G，则PG∥BE，△DPG∽△DFE；然后由相似三角形的对应边成比例求得 PG、DG的值，而DQ=6﹣t，所以求得GQ=DQ﹣DG的值，根据平行线的判定定理知GP∥BE，可证△GPQ∽△QBE，所以，

GP：BE=GQ：EQ，从而解得t=，点B、Q、P在同一直线上．

解：（1）∠ACB=45°，∠DEF=90°，

∴∠EQC=45°．

∴EC=EQ=t，

∴BE=9﹣t．

∴，

即：（）

（2）①当DQ=DP时，∴6﹣t=10﹣3t，解得：t=2s．

②当PQ=PD时，过P作PH⊥DQ，交DE于点H，

则DH=HQ=，由HP∥EF，

∴则，解得s

③当QP=QD时，过Q作QG⊥DP，交DP于点G，

则GD=GP=，可得：△DQG∽△DFE，

∴，则，

解得s

（3）假设存在某一时刻t，

使点P、Q、B三点在同一条直线上．

则，过P作PI⊥BF，交BF于点I，

∴PI∥DE，

于是：，

∴，，

∴，则，

解得：s．

答：当s，点P、Q、B三点在同一条直线上．