Question

如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO，DO为边在AD的同侧作等边△AOB和等边△DOC，AC与BD相交于点E．
（1）根据题意，结合图写出以下结论：
①∠AOC与∠BOD的大小关系是______．
②线段AC与BD的大小关系是______．
③∠AEB=______度．
（2）△OAB固定不动，保持△DOC的形状和大小不变，将△DOC绕着点O旋转，如图2，则（1）中的结论是否仍然成立？试证明你的结论．

Answer 1

（1）解：∵△DCO和△ABO是等边三角形，
∴OC=OD，OB=OA，∠OBA=∠OAB=60°，∠COD=∠BOA=60°，
∴∠COD+∠COB=∠BOA+∠COB，
∴∠DOB=∠COA，
在△DOB和△COA中，
∴△DOB≌△COA（SAS），
∴∠AOC=∠BOD，AC=BD，∠DBO=∠CAO，
∵∠OBA=∠OAB=60°
∴∠AEB=180°-（∠EBO+∠OBA+∠BAO）
=180°-（∠CAO+∠OBA+∠BAO）
=180°-（60°+60°）=60°；
故答案分别是：①相等；②相等；③60；

（2）解：（1）中的结论仍然成立．理由如下：与（1）证明过程类似，
∵△DCO和△ABO是等边三角形，
∴OC=OD，OB=OA，∠OBA=∠OAB=60°，∠COD=∠BOA=60°，
∴∠COD+∠COB=∠BOA+∠COB，
∴∠DOB=∠COA，
在△DOB和△COA中，
∴△DOB≌△COA（SAS），
∴∠DBO=∠CAO，
∵∠OBA=∠OAB=60°
∴∠AEB=180°-（∠EBO+∠OBA+∠BAE）
=180°-（∠CAO+∠OBA+∠BAE）
=180°-（60°+60°）=60°．
分析：（1）通过全等三角形△AOC≌△BOD的对应边相等、对应角相等来求①∠AOC与∠BOD的大小关系、②线段AC与BD的大小关系．在△BEA中，根据三角形内角和定理求出③∠AEB的大小；
（2）求出OC=OD，OA=OB，∠DOB=∠COA，证△DOB≌△COA，推出∠DBO=∠CAO，在△BEA中，根据三角形内角和定理求出即可．
点评：本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，关键是求出∠DBO=∠CAO．题目比较好，证明过程类似．