【题目】问题情境:如图1,直角三角板ABC中,∠C=90°,AC=BC,将一个用足够长的的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角三角板ABC的斜边AB上,再将该直角绕点D旋转,并使其两边分别与三角板的AC边、BC边交于P、Q两点.
问题探究:(1)在旋转过程中,
①如图2,当AD=BD时,线段DP、DQ有何数量关系?并说明理由.
②如图3,当AD=2BD时,线段DP、DQ有何数量关系?并说明理由.
③根据你对①、②的探究结果,试写出当AD=nBD时,DP、DQ满足的数量关系为_______________(直接写出结论,不必证明)
(2)当AD=BD时,若AB=20,连接PQ,设△DPQ的面积为S,在旋转过程中,S是否存在最小值或最大值?若存在,求出最小值或最大值;若不存在,请说明理由.
图1 图2 图3
【答案】(1)① DP=DQ,理由见解析; ②DP=2DQ,理由见解析; ③DP=nDQ;(2)S有最小值为25; S有最大值为10,理由见解析.
【解析】
(1)①首先利用等腰直角三角形的性质得出△ADP≌△CDQ(ASA),即可得出答案;
②首先得出△DPM∽△DQN,则,求出△AMD∽△BND,进而得出答案.
③根据已知得出Rt△DNP∽Rt△DMQ,则,则AD=nBD,求出即可;
(2)当DP⊥AC时,x最小,最小值是5.此时,S有最小值;当点P与点A重合时,x最大,最大值为10,分别求出即可.
解:(1)①DP=DQ
理由:连接CD,
∵AD=BD,△ABC是等腰直角三角形,
∴AD=CD,∠A=∠DCQ,∠ADC=90°,∴∠ADP+∠PDC=∠CDQ+∠PDC=90°,
∴∠ADP=∠CDQ,∴△ADP≌△CDQ,∴DP=DQ.
② DP=" 2DQ" .
理由:如图,过点D作DM⊥AC、DN⊥BC,垂足分别为M、N,
∴∠DMP=∠DNQ=90°,∠MDP=∠NDQ,
∴△DPM∽△DQN,∴DM:DN="DP:DQ" .
∵∠AMD=∠DNB=90°,∠A=∠B,
∴△AMD∽△BND,∴AD:BD=DM:DN.
∴DP:DQ=AD:BD=2BD:BD=2:1,
∴DP=2DQ.
③DP=NQ.
(2)存在,设DQ=x,由(1)①知DP=x,
∴S=
,
当DP⊥AC时,x最小,最小值是,此时,S有最小值,
当点P与点A重合时,x最大,最大值是10,此时,S有最大值,
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【题目】已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0中,b=;
(1)若a=4,求b的值;
(2)若方程ax2+bx+1=0有两个相等的实数根,求方程的根.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.
(1)画出△AOB平移后的三角形,其平移后的方向为射线AD的方向,平移的距离为AD的长.
(2)观察平移后的图形,除了矩形ABCD外,还有一种特殊的平行四边形?请证明你的结论.
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【题目】已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0中,b=;
(1)若a=4,求b的值;
(2)若方程ax2+bx+1=0有两个相等的实数根,求方程的根.
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【题目】如图,在中,直径垂直于不过圆心的弦,垂足为点,连接,,点在上,且.过点作的切线交的延长线于点,点为上一动点,设线段的长为.
(1)求证:;
(2)求证:;
(3)设半径为,若点为中点,求的取值范围.
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【题目】小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各50盆售后统计,盆景的平均每盆利润是160元,花卉的平均每盆利润是19元,调研发现:
①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆,盆景的平均每盆利润增加2元;②花卉的平均每盆利润始终不变.
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1,W2(单位:元)
(1)用含x的代数式分别表示W1,W2;
(2)当x取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大,最大总利润是多少?
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【题目】如图,边长为2的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′,边B′C′与DC交于点O,则四边形AB′OD的周长是( )
A.B.6C.D.2+
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【题目】在如图平面直角坐标系中,矩形的顶点的坐标为,、分别落在轴和轴上,是矩形的对角线. 将绕点逆时针旋转,使点落在轴上,得到,与相交于点,反比例函数的图象经过点,交于点.
(1)求的值和点的坐标;
(2)连接,则图中是否存在与相似的三角形?若存在,请把它们一一找出来,并选其中一种进行证明;若不存在,请说明理由;
(3)在线段上存在这样的点,使得是等腰三角形,请直接写出点的坐标.
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【题目】垫球是排球队常规训练的重要项目之一.下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩.测试规则为连续接球10个,每垫球到位1个记1分.
运动员甲测试成绩表
测试序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
成绩(分) | 7 | 6 | 8 | 7 | 7 | 5 | 8 | 7 | 8 | 7 |
(1)写出运动员甲测试成绩的众数和中位数;
(2)在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人,你认为选谁更合适?为什么?(参考数据:三人成绩的方差分别为、、)
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