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【题目】问题情境:如图1,直角三角板ABC中,∠C90°ACBC,将一个用足够长的的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角三角板ABC的斜边AB上,再将该直角绕点D旋转,并使其两边分别与三角板的AC边、BC边交于PQ两点.

问题探究:(1)在旋转过程中,

如图2,当ADBD时,线段DPDQ有何数量关系?并说明理由.

如图3,当AD2BD时,线段DPDQ有何数量关系?并说明理由.

根据你对的探究结果,试写出当ADnBD时,DPDQ满足的数量关系为_______________(直接写出结论,不必证明)

2)当ADBD时,若AB20,连接PQ,设△DPQ的面积为S,在旋转过程中,S是否存在最小值或最大值?若存在,求出最小值或最大值;若不存在,请说明理由.

1 2 3

【答案】1① DP=DQ,理由见解析; ②DP=2DQ,理由见解析; ③DP=nDQ;(2S有最小值为25 S有最大值为10,理由见解析.

【解析】

1首先利用等腰直角三角形的性质得出△ADP≌△CDQASA),即可得出答案;

首先得出△DPM∽△DQN,则,求出△AMD∽△BND,进而得出答案.

根据已知得出Rt△DNP∽Rt△DMQ,则,则AD=nBD,求出即可;

2)当DP⊥AC时,x最小,最小值是5.此时,S有最小值;当点P与点A重合时,x最大,最大值为10,分别求出即可.

解:(1①DPDQ

理由:连接CD

∵AD=BD△ABC是等腰直角三角形,

∴AD=CD∠A∠DCQ∠ADC90°∴∠ADP∠PDC∠CDQ∠PDC90°

∴∠ADP∠CDQ∴△ADP≌△CDQ∴DP=DQ.

② DP=" 2DQ"

理由:如图,过点DDM⊥ACDN⊥BC,垂足分别为MN

∴∠DMP∠DNQ90°∠MDP∠NDQ

∴△DPM∽△DQN∴DM:DN="DP:DQ"

∵∠AMD∠DNB90°∠A∠B

∴△AMD∽△BND∴AD:BD=DM:DN

∴DP:DQ=AD:BD=2BD:BD=2:1

∴DP=2DQ

③DP=NQ

2)存在,设DQ=x,由(1DP=x

∴S=

DP⊥AC时,x最小,最小值是,此时,S有最小值,

当点P与点A重合时,x最大,最大值是10,此时,S有最大值,

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运动员甲测试成绩表

测试序号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

成绩(分)

7

6

8

7

7

5

8

7

8

7

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