Question

10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，且AF=2，则点F到边DC的距离为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 作辅助线，构建全等三角形和直角三角形，先根据菱形的性质：菱形的每一条对角线平分一组对角，得∠BAC=40°，由线段垂直平分线的性质得AF=BF=2，证明△DFC≌△BFC，得∠FDC=∠FBC=60°，DF=BF=2，由30°角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理依次求出DG、FG的长．

解答 解：过F作FG⊥DC于G，连接DF、BF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BAD=$\frac{1}{2}$×80°=40°，
∵EF为AB的垂直平分线，
∴AF=BF=2，
∴∠FBA=∠BAC=40°，
∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠DAB=180°，
∴∠ABC=180°-80°=100°，
∴∠FBC=100°-40°=60°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴DC=BC，∠DCA=∠BCA，
∵FC=FC，
∴△DFC≌△BFC，
∴∠FDC=∠FBC=60°，DF=BF=2，
在Rt△DFG中，
∠DFG=30°，
∴DG=$\frac{1}{2}$DF=1，
∴FG=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
则点F到边DC的距离为$\sqrt{3}$，
故选B．

点评 本题考查了菱形和线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的性质是关键：①菱形的四边相等，②菱形的每一条对角线平分一组对角，③垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；本题求点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长．