Question

19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，点P为边AB上的一个动点，过点P作AB的垂线交BC所在的直线于点F，连接CP，当△CFP为等腰三角形时，求PF的长．

Answer 1

分析 由勾股定理求出AB，证得△PBF∽CBA；分两种情况讨论：
①当PF=CF时，根据三角形相似的性质，列出方程，解方程即可；
②当PC=CF时，根据三角形相似的性质，列出方程，解方程即可．

解答 解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∵PF⊥AB，
∴∠BPF=90°，
∴∠ACB=∠BPF，
∵∠ABC=∠FBP，
∴△PBF∽CBA，
∴$\frac{PF}{AC}$=$\frac{BF}{AB}$，
分两种情况讨论：
①当PF=CF时，如图1，
设PF=x，则CF=x，BF=6-x，
∴$\frac{x}{8}$=$\frac{6-x}{10}$，
解得x=$\frac{8}{3}$
②当PC=CF时，则∠F=∠CPF，
∴∠B=∠CPB，
∴PC=BC=6，如图2，
，设PF=x，则BF=12，
∴$\frac{x}{8}$=$\frac{12}{10}$
解得x=$\frac{48}{5}$；
综上所述：当△PCF为等腰三角形时，PF的长为：$\frac{8}{3}$或$\frac{48}{5}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质；本题有一定难度，需要进行分类讨论．