Question

17．如图，△ABC中，∠B=45°，∠C=65°，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC，△ADE沿DE折叠，点A对称点为F点．
（1）若点A落在BC边上（如图1），求证：△BDF是等腰直角三角形；
（2）若点A落在三角形内（如图2），过点D、F、C在一条直线上，求△CEF各角的度数．

Answer 1

分析 （1）利用平行线的性质得出∠ADE=45°，再利用翻折变换的性质得出∠ADE=∠EDF=45°，进而得出∠BDF=90°即可得出答案；
（2）利用平行线的性质得出∠ADE=45°、∠AED=65°，由翻折可得∠FDE=∠ADE=45°、∠FED=∠AED=65°，进而有∠FEC=50°、∠FCE=∠ACB-∠BCD=20°，根据内角和定理可得∠EFC度数．

解答 解：（1）∵∠B=45°，DE∥BC，
∴∠ADE=45°，
∵△ADE沿DE折叠，点A对应点为F点，
∴∠ADE=∠EDF=45°，
∴∠BDF=90°，
∴△BDF是等腰直角三角形；
（2）∵DE∥BC，∠B=45°，∠ACB=65°，
∴∠ADE=∠B=45°，∠AED=∠ACB=65°，
∵△ADE沿DE折叠，点A对应点为F点，
∴∠FDE=∠ADE=45°，∠FED=∠AED=65°，
∴∠BCD=∠FDE=45°，∠FEC=180°-∠FED-∠AED=50°，
由∠ACB=65°，可得∠FCE=∠ACB-∠BCD=20°，
在△ECF中，∠EFC=180°-∠ECF-∠CEF=110°，
故△CEF中，∠FEC=50°，∠ECF=20°，∠EFC=110°．

点评 此题主要考查了翻折变换的性质以及平行线的性质和等腰直角三角形的判定以及三角形内角和定理等知识，正确利用翻折变换的性质得出∠ADE=∠EDF、∠FED=∠AED是解题关键．