Question

6．如图，将等腰Rt△ABC放置在平面直角坐标系中，∠CAB=90°，AC=AB．
（1）如图1，点B，C分别在x，y轴上，求证：点A在∠BOC的角平分线上；
（2）如图2，已知A（3，0），C（0，4），求点B的坐标；
（3）如图3，点A，C分别在x，y轴上，点E为BC上一点，以AE为边作等腰Rt△AED，∠AED=90°，连接CD，求∠ACD的度数．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=45°，证明A、B、O、C四点共圆，由圆周角定理得出∠AOC=∠ABC=45°，∠AOB=∠ACB=45°，即可得出结论；
（2）作BM⊥x轴于m，证出∠ABM=∠CAO，由AAS证明△ABM≌△ACO，得出BM=OA=3，AM=OC=4，求出OM=7，即可得出点B的坐标；
（3）由等腰直角三角形的性质得出∠ADE=45°=∠ACB，证出A、E、D、C四点共圆，由圆内接四边形的性质得出∠ACD+∠AED=180°，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵∠CAB=90°，AC=AB，∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠ACB+∠BOC=90°+90°=180°，
∴A、B、O、C四点共圆，
∴∠AOC=∠ABC=45°，∠AOB=∠ACB=45°，
∴∠AOC=∠AOB，
∴OA平分∠BOC，
即点A在∠BOC的角平分线上；
（2）解：∵A（3，0），C（0，4），
∴OA=3，OC=4，
作BM⊥x轴于M，如图所示：
则∠BMA=90°=∠AOC，
∴∠BAM+∠ABM=90°，
∵∠CAB=90°，
∴∠BAM+∠CAO=90°，
∴∠ABM=∠CAO，
在△ABM和△ACO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABM=∠CAO}&{\;}\\{∠BMA=∠AOC}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACO（AAS），
∴BM=OA=3，AM=OC=4，
∴OM=OA+AM=3+4=7，
∴点B的坐标为（7，3）；
（3）解：∵△AED是等腰直角三角形，
∴∠AED=90°，∠ADE=45°=∠ACB，
∴A、E、D、C四点共圆，
∴∠ACD+∠AED=180°，
∴∠ACD=90°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、圆内接四边形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．