Question

如图所示，在△ABC外作等腰三角形△ABD和等腰三角形△ACE，且使它们的顶角∠DAB=∠EAC，BE、CD相交于点P，AP的延长线交BC于点F，试判断∠BPF与∠CPF的关系，并加以证明．

Answer 1

解：∠BPF=∠CPF
理由：作AG⊥CD于G，AH⊥BE于H，
∵∠DAB=∠EAC，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE．
在△ADC和△ABE中
，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴DC=BE．
∵AG⊥CD，AH⊥BE，
∴AG=AH．
在Rt△AGP和Rt△AHP中，
，
∴∠APG=∠APH．
∵∠APG=∠CPF，∠APH=∠BPF，
∴∠BPF=∠CPF．
分析：作AG⊥CD于G，AH⊥BE于H，根据条件可以先证明△ADC≌△ABE，就可以得出CD=EB，就可以证明△AGP≌△AHP就可以得出∠APG=∠APH，再根据对顶角相等就可以得出结论．
点评：本题考查了等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，对顶角的性质的运用，解答时证明三角形是关键，运用全等三角形的对应边上的高相等求解是难点．