Question

11．如图，已知⊙O的半径为5，直线l切⊙O于A，在直线l上取点B，AB=4．
（1）请用无刻度的直尺和圆规，过点B作直线m⊥l，交⊙O于C、D（点D在点C的上方）；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）求BC的长．

Answer 1

分析 （1）利用基本作图（过一点作已知直线的垂线）作直线m得到CD；
（2）作OH⊥CD于H，连接OA、OD，如图，利用垂径定理得到DH=CH，则根据切线的性质得OA⊥l，易得四边形OABH为正方形，所以OH=AB=4，BH=OA=5，然后利用勾股定理计算出DH=3，则CH=3，所以BC=BH-CH=2．

解答 解：（1）如图，CD为所作；


（2）作OH⊥CD于H，连接OA、OD，如图，
则DH=CH，
∵直线l切⊙O于A，
∴OA⊥l，
易得四边形OABH为正方形，
∴OH=AB=4，BH=OA=5，
在Rt△ODH中，DH=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴CH=3，
∴BC=BH-CH=5-3=2．
故答案为2．

点评 本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了切线的性质．