Question

抛物线y=-x²+bx+c经过点A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．
（1）如图，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，点P的坐标为______；
（2）抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，实数m的变化范围是______．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c经过点A（-1，0），C（0，3），
∴，
解得，
∴y=-x²+2x+3，
令y=0，则-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴点B的坐标为（3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
所以，直线BC的解析式为y=-x+3，
过点D作BC的平行直线，设解析式为y=-x+d，
联立，
消掉y得，-x²+2x+3=-x+d，
整理得，x²-3x-3+d=0，
当△=0时，方程有两个相等的实数根，此时点D到BC的距离最大，△BDC的面积最大，
所以，x=-=，
∵PD∥y轴，
∴点P的横坐标为，
此时y=-+3=，
∴点P的坐标为（，）；

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴抛物线顶点E的坐标为（1，4），
过点C作CG⊥EF，则CG=1，
①点N在EG上时，点N与点E重合时，点M的横坐标最大，
∵点C（0，3），E（1，4），
∴GE=1，
∴∠CEG=45°，
∵∠MNC=90°，
∴∠MEF=90°-45°=45°，
∴MF=EF=4，
∴OM=4+1=5，
∴点M的坐标为（5，0），
即m的最大值为5，
②点N在线段GF上时，设GN=x，则NF=3-x，
∵∠MNC=90°，
∴∠CNG+∠MNF=90°，
又∵∠CNG+∠NCG=90°，
∴∠NCG=∠MNF，
∴Rt△NCG∽△MNF，
∴=，
即=，
整理得，MF=-x²+3x=-（x-）²+，
所以，当x=时，MF有最大值，
MO=MF-OF=-1=，
所以，点M的坐标为（-，0），
所以，m的最小值为-，
因此，实数m的变化范围为-≤m≤5．
故答案为：（，）；-≤m≤5．
分析：（1）把点A、C的坐标代入抛物线解析式求出b、c的值，从而得到抛物线的解析式，再求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，当与BC平行的直线与抛物线有且只有一个交点时，点D到BC的距离最大，此时△BDC的面积最大，然后联立直线与抛物线解析式，消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出x的值，即可得到点D的横坐标，然后代入直线BC的解析式求出点P的纵坐标，即可得解；
（2）根据抛物线解析式求出顶点E的坐标，过点C作CG⊥%EF，然后分①点N在EG上时，点N与点E重合时，点M的横坐标最大，然后根据点C、E的坐标求出∠CEG=45°，再求出∠MEF=45°，根据等腰直角三角形的性质求出EM的长度，从而得到点M的坐标，求出m的最大值；②点N在线段GF上时，设GN=x，然后表示出NF，根据同角的余角相等求出∠NCG=∠MNF，然后证明△NCG和△MNF相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式用x表示出MF，再根据二次函数的最值问题求出y的最大值，然后求出MO，从而得到点M的坐标，求出m的最小值．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求函数解析式（二次函数解析式与直线解析式），联立两函数解析式求交点坐标，平行直线的解析式的k值相等，相似三角形对应边成比例的性质，二次函数的最大值问题，综合性较强，难度较大，（2）要分情况讨论．