Question

16．如图1，经过原点O的抛物线y=ax²+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（$\frac{3}{2}$，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；
（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式；
（2）过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，可设出C点坐标，利用C点坐标可表示出CD的长，从而可表示出△BOC的面积，由条件可得到关于C点坐标的方程，可求得C点坐标；
（3）设MB交y轴于点N，则可证得△ABO≌△NBO，可求得N点坐标，可求得直线BN的解析式，联立直线BM与抛物线解析式可求得M点坐标，过M作MG⊥y轴于点G，由B、C的坐标可求得OB和OC的长，由相似三角形的性质可求得$\frac{OM}{OP}$的值，当点P在第一象限内时，过P作PH⊥x轴于点H，由条件可证得△MOG∽△POH，由$\frac{OM}{OP}$=$\frac{MG}{PH}$=$\frac{OG}{OH}$的值，可求得PH和OH，可求得P点坐标；当P点在第三象限时，同理可求得P点坐标．

解答 解：
（1）∵B（2，t）在直线y=x上，
∴t=2，
∴B（2，2），
把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b=2}\\{\frac{9}{4}a+\frac{3}{2}b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=2x²-3x；
（2）如图1，过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，

∵点C是抛物线上第四象限的点，
∴可设C（t，2t²-3t），则E（t，0），D（t，t），
∴OE=t，BF=2-t，CD=t-（2t²-3t）=-2t²+4t，
∴S_△OBC=S_△CDO+S_△CDB=$\frac{1}{2}$CD•OE+$\frac{1}{2}$CD•BF=$\frac{1}{2}$（-2t²+4t）（t+2-t）=-2t²+4t，
∵△OBC的面积为2，
∴-2t²+4t=2，解得t₁=t₂=1，
∴C（1，-1）；
（3）存在．连接AB、OM．
设MB交y轴于点N，如图2，

∵B（2，2），
∴∠AOB=∠NOB=45°，
在△AOB和△NOB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠NOB}\\{OB=OB}\\{∠ABO=∠NBO}\end{array}\right.$
∴△AOB≌△NOB（ASA），
∴ON=OA=$\frac{3}{2}$，
∴N（0，$\frac{3}{2}$），
∴可设直线BN解析式为y=kx+$\frac{3}{2}$，
把B点坐标代入可得2=2k+$\frac{3}{2}$，解得k=$\frac{1}{4}$，
∴直线BN的解析式为y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{3}{2}$，
联立直线BN和抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}}\\{y=2{x}^{2}-3x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{8}}\\{y=\frac{45}{32}}\end{array}\right.$，
∴M（-$\frac{3}{8}$，$\frac{45}{32}$），
∵C（1，-1），
∴∠COA=∠AOB=45°，且B（2，2），
∴OB=2$\sqrt{2}$，OC=$\sqrt{2}$，
∵△POC∽△MOB，
∴$\frac{OM}{OP}$=$\frac{OB}{OC}$=2，∠POC=∠BOM，
当点P在第一象限时，如图3，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥x轴于点H，

∵∠COA=∠BOG=45°，
∴∠MOG=∠POH，且∠PHO=∠MGO，
∴△MOG∽△POH，
∴$\frac{OM}{OP}$=$\frac{MG}{PH}$=$\frac{OG}{OH}$=2，
∵M（-$\frac{3}{8}$，$\frac{45}{32}$），
∴MG=$\frac{3}{8}$，OG=$\frac{45}{32}$，
∴PH=$\frac{1}{2}$MG=$\frac{3}{16}$，OH=$\frac{1}{2}$OG=$\frac{45}{64}$，
∴P（$\frac{45}{64}$，$\frac{3}{16}$）；
当点P在第三象限时，如图4，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥y轴于点H，

同理可求得PH=$\frac{1}{2}$MG=$\frac{3}{16}$，OH=$\frac{1}{2}$OG=$\frac{45}{64}$，
∴P（-$\frac{3}{16}$，-$\frac{45}{64}$）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（$\frac{45}{64}$，$\frac{3}{16}$）或（-$\frac{3}{16}$，-$\frac{45}{64}$）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用C点坐标表示出△BOC的面积是解题的关键，在（3）中确定出点P的位置，构造相似三角形是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．