Question

在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AB=2，AD是BC边上的高线，过点C，D的⊙O交AC于点E，连接BE交⊙O于点F．
（1）求BF•BE的值；
（2）设AE=x，用x的代数式表示△BDF的面积；
（3）如果△BDF的面积是，求tan∠ABE的值．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，AD⊥BC，由射影定理得：
BD•BC=AB²=4；
由切割线定理得：BD•BC=BF•BE，即BF•BE=4．

（2）在Rt△ABC中，AB=2，∠ABC=60°，
则：AD=，AC=2，BD=1，BC=4；
过E作EM⊥BC于M，则△CEM∽△CAD，
∴EM：AD=CE：CA=（2-x）：2，
∴S_△ACE：S_△ABC=EM：AD=（2-x）：2，
∵S_△ABC=BC•AD=2，∴S_△ACE=2-x；
连接DF，∵四边形CDFE是圆的内接四边形，
∴∠BFD=∠C，又∵∠FBD=∠CBE，
∴△FBD∽△CBE，
∴=，
其中，BD²=1，BE²=4+x²，S_△ACE=2-x，
∴S_△BDF=．

（3）当△BDF的面积是时，=，
化简得：x²+7x-10=0，解得x=，x=-（不合题意舍去），
∴tanABE==．
分析：（1）由切割线定理知：BD•BC=BF•BE，那么必须先求出BD•BC的值，在Rt△ABC中，AD⊥BC，由射影定理得：BD•BC=AB²，由此得解．
（2）过E作EM⊥BC于M，通过相似三角形△CEM、△CAD，可求得EM、AD的比例关系，而△ABC、△EBC同底不等高，它们的面积比等于高的比，即EM、AD的比，△ABC的面积易求得，即可得到△EBC的面积表达式；在Rt△BAE中，利用勾股定理易求得BE的表达式，可证△BFD∽△BCE，它们的面积比等于相似比的平方，即（BE：BD）的平方，BD的值易求得，即可得到△BDF的表达式．
（3）将△BDF的面积代入（2）题所得的代数式中，即可求出x的值，进而可在Rt△ABE中求出∠ABE的正切值．
点评：本题主要考查的是切割线定理，切线的性质定理，勾股定理，三角函数和相似三角形的性质．难点在于第（2）问，熟练掌握三角形面积的求法是解答此题的关键．