Question

15．以O为圆心的两个同心圆中，AD是大圆的直径，大圆的弦AB与小圆相切于点C，过C点作FH⊥AD交大圆于F、H，垂足为E．
（1）判断AC与BC的大小关系，并说明理由．
（2）如果FC、CH的长是方程x²-2$\sqrt{5}$x+4=0的两根（CH＞CF），求CE、CA的长以及图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）相等，主要根据是垂径定理，从已知条件中可知AB为大圆的弦，且垂直于半径，所以相等．
（2）先解方程求出根，再观察图发现阴影部分图形的周长就是一段弧长加一线段，分别计算相加．

解答 （1）解：相等．
连接OC，则CO⊥AB，故AC=BC．

（2）解：解方程得：CH=$\sqrt{5}$+1，CF=$\sqrt{5}$-1，
∴CE=EF-FC=EH-FC=$\sqrt{5}$-（$\sqrt{5}$-1）=1，AC²=4，AC=2，
在Rt△ACE中，sinA=$\frac{CE}{AC}$，
∴∠A=30°，
∴∠AOC=60°，
∴∠CON=120°．
在△ACO中，CO=AC•tanA=2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
阴影部分的面积=S_△ACO+S_扇形=$\frac{1}{2}×2×\frac{2\sqrt{3}}{3}$+$\frac{120π×（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}{360}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+$\frac{4π}{9}$．

点评 本题考查了切线的性质，勾股定理，解直角三角形，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．