Question

15．如图，A₁、B₁、C₁分别是BC、AC、AB的中点，A₂、B₂、C₂分别是B₁C₁、A₁C₁、A₁B₁的中点，…，这样延续下去，已知△ABC的面积是32，△A₁B₁C₁的面积是S₁，△A₂B₂C₂的面积是S₂，…，则△A₄B₄C₄的面积S₄=$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 根据三角形的中位线求出BC=2B₁C₁，AB=2A₁B₁，AC=2A₁C₁，求出$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{AB}$=$\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{BC}$=$\frac{{A}_{1}{C}_{1}}{AC}$=$\frac{1}{2}$，根据相似三角形的判定得出△ABC∞△A₁B₁C₁，根据相似三角形的性质得出$\frac{{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{4}$，推出S₁=$\frac{1}{4}$S_△ABC，得出规律，即可求出答案．

解答 解：∵A₁、B₁、C₁分别是BC、AC、AB的中点，
∴BC=2B₁C₁，AB=2A₁B₁，AC=2A₁C₁，
∴$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{AB}$=$\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{BC}$=$\frac{{A}_{1}{C}_{1}}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴△ABC∞△A₁B₁C₁，
∴$\frac{{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
∵△ABC的面积是32，△A₁B₁C₁的面积是S₁，
∴S₁=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{1}{4}$×32=8，
同理S₂=$\frac{1}{4}$S₁=2，
S₃=$\frac{1}{4}$S₂=$\frac{1}{2}$，
S₄=$\frac{1}{4}$S₃=$\frac{1}{8}$．
故答案为：$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查了三角形的中位线，相似三角形的性质和判定的应用，能得出规律是解此题的关键，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．