Question

20．如图，BE，CD相交于点A，∠DEA、∠BCA的平分线相交于F
（1）如果∠B=32°，∠D=38°，求∠F的度数；
（2）求证：∠F=$\frac{1}{2}$（∠B+∠D）．

Answer 1

分析 （1）在△ABC和△ADE中，根据三角形的内角和定理表示出∠ACB和∠AED的关系，然后根据角平分线的定义表示出∠BCF和∠BEF，然后再次利用三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（2）在△ABC和△ADE中，根据三角形的内角和定理表示出∠ACB和∠AED的关系，然后根据角平分线的定义表示出∠BCF和∠BEF，然后再次利用三角形的内角和定理列式整理即可得证．

解答 （1）解：在△ABC和△ADE中，∠B+∠ACB=∠D+∠AED，
∵∠B=32°，∠D=38°，
∴32°+∠ACB=38°+∠AED，
∴∠ACB=6°+∠AED，
∵∠DEA、∠BCA的平分线相交于F，
∴∠BCF=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BEF=$\frac{1}{2}$∠AED，
∵∠F+∠BEF=∠B+∠BCF，
∴∠F+$\frac{1}{2}$∠AED=32°+$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠F+$\frac{1}{2}$∠AED=32°+$\frac{1}{2}$（∠AED+6°），
解得∠F=35°；

（2）证明：在△ABC和△ADE中，∠B+∠ACB=∠D+∠AED，
∵∠DEA、∠BCA的平分线相交于F，
∴∠BCF=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BEF=$\frac{1}{2}$∠AED，
∵∠F+∠BEF=∠B+∠BCF，
∴∠F+$\frac{1}{2}$∠AED=∠B+$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠F+$\frac{1}{2}$∠AED=∠B+$\frac{1}{2}$（∠AED+∠D-∠B），
∴∠F=$\frac{1}{2}$（∠B+∠D）．

点评 本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，根据“八字形”图形的对顶角相等利用三角形的内角和定理列出等式是解题的关键，要注意整体思想的利用．