Question

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（8，4）点P的对角线OB上一个动点，点D的坐标为（0，-2），当DP与AP之和最小时，点P的坐标为（$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{3}$）．

Answer 1

分析 点A的对称点是点C，连接CD，交OB于点P，再得出CD即为DP+AP最短，解答即可．

解答 解：连接CD，如图，
∵点A的对称点是点C，
∴CP=AP，
∴CD即为DP+AP最短，
∵四边形ABCD是菱形，顶点B（8，4），
∴OA²=AB²=（8-AB）²+4²，
∴AB=OA=BC=OC=5，
∴点C的坐标为（3，4），
∴可得直线OB的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x，
∵点D的坐标为（0，-2），
∴可得直线CD的解析式为：y=2x-2，
∵点P是直线OC和直线ED的交点，
∴点P的坐标为方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=2x-2}\end{array}\right.$的解，
解方程组得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
所以点P的坐标为（$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{3}$），
故答案为：（$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{3}$）．

点评 此题考查了轴对称-最短路线问题，菱形的性质，关键是根据一次函数与方程组的关系，得出两直线的解析式，求出其交点坐标．